Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{64}{\sqrt[3]{5 x^{2} + 7 x + 8}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{5 x^{2} + 7 x + 8}$ comme ${(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{64}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2

Comme $64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{64}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.3.1

Réécrivez $\frac{1}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ comme ${({(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$64 \frac{d}{d x} [{({(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Étape 1.3.2

Multipliez les exposants dans ${({(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Étape 1.3.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$64 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Étape 1.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$64 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{1}{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ et $g (x) = 5 x^{2} + 7 x + 8$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x^{2} + 7 x + 8$ .

$64 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{3}$ .

$64 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x^{2} + 7 x + 8$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Étape 6.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Étape 7.2

Associez ${(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$64 (- \frac{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Étape 7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.3.1

Placez ${(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$64 (- \frac{1}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Étape 7.3.2

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$- 64 (\frac{1}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Étape 7.4

Associez $\frac{1}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$ et $- 64$ .

$\frac{- 64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8]$

Étape 7.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} + 7 x + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 9

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 11

Multipliez $2$ par $5$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 12

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 14

Multipliez $7$ par $1$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7 + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 15

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7 + 0)$

Étape 16

Additionnez $10 x + 7$ et $0$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7)$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Réorganisez les facteurs de $- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7)$ .

$- (10 x + 7) \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 17.2

Appliquez la propriété distributive.

$(- (10 x) - 1 \cdot 7) \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 17.3

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$(- 10 x - 1 \cdot 7) \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 17.4

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$(- 10 x - 7) \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 17.5

Multipliez $- 10 x - 7$ par $\frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{(- 10 x - 7) \cdot 64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 17.6

Déplacez $64$ à gauche de $- 10 x - 7$ .

$\frac{64 \cdot (- 10 x - 7)}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 17.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 10 x$ .

$\frac{64 (- (10 x) - 7)}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 17.8

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$\frac{64 (- (10 x) - 1 (7))}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 17.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (10 x) - 1 (7)$ .

$\frac{64 (- (10 x + 7))}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 17.10

Réécrivez $- (10 x + 7)$ comme $- 1 (10 x + 7)$ .

$\frac{64 (- 1 (10 x + 7))}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 17.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{64 (10 x + 7)}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$