Algèbre Exemples

$f (t) = 5 \sin (\frac{1}{3} t^{3} + 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $t^{3}$ .

$\frac{d}{d t} [5 \sin (\frac{t^{3}}{3} + 1)]$

Étape 1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 \sin (\frac{t^{3}}{3} + 1)$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [\sin (\frac{t^{3}}{3} + 1)]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\sin (\frac{t^{3}}{3} + 1)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = \frac{t^{3}}{3} + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{t^{3}}{3} + 1$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{3} + 1])$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$5 (\cos (u) \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{3} + 1])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{t^{3}}{3} + 1$ .

$5 (\cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{3} + 1])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{t^{3}}{3} + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{3}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$5 \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) (\frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{3}] + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{t^{3}}{3}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$5 \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) (\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) (\frac{1}{3} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$5 \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) (\frac{3}{3} t^{2} + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.4.2

Associez $\frac{3}{3}$ et $t^{2}$ .

$5 \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) (\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$5 \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) (\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.4.3.2

Divisez $t^{2}$ par $1$ .

$5 \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) (t^{2} + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$5 \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) (t^{2} + 0)$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $t^{2}$ et $0$ .

$5 \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) t^{2}$

Étape 3.6.2

Réorganisez les facteurs de $5 \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) t^{2}$ .

$5 t^{2} \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1)$