Algèbre Exemples

$\frac{5}{2 x - 1} < x - 2$

Étape 1

Résolvez $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3$ .

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Étape 1.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{5}{2 x - 1} - x < - 2$

Étape 1.1.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’inégalité.

$\frac{5}{2 x - 1} - x + 2 < 0$

Étape 1.2

Simplifiez $\frac{5}{2 x - 1} - x + 2$ .

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Étape 1.2.1

Pour écrire $- x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{5}{2 x - 1} - x \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Étape 1.2.2

Associez $- x$ et $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{5}{2 x - 1} + \frac{- x (2 x - 1)}{2 x - 1} + 2 < 0$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 - x (2 x - 1)}{2 x - 1} + 2 < 0$

Étape 1.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 - x (2 x) - x \cdot - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Étape 1.2.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $- x \cdot - 1$ .

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Étape 1.2.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x + 1 x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Étape 1.2.4.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Étape 1.2.4.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.4.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.4.4.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Étape 1.2.4.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x^{2} + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Étape 1.2.4.4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Étape 1.2.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5}{2 x - 1} + 2 < 0$

Étape 1.2.5

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5}{2 x - 1} + \frac{2 (2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Étape 1.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 2 (2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Étape 1.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}{2 x - 1} < 0$

Étape 1.2.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 4 x + 2 \cdot - 1}{2 x - 1} < 0$

Étape 1.2.7.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 4 x - 2}{2 x - 1} < 0$

Étape 1.2.7.4

Additionnez $x$ et $4 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5 x + 5 - 2}{2 x - 1} < 0$

Étape 1.2.7.5

Soustrayez $2$ de $5$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Étape 1.2.7.6

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.7.6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 2 \cdot 3 = - 6$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 1.2.7.6.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5 (x) + 3}{2 x - 1} < 0$

Étape 1.2.7.6.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 1$ plus $6$

$\frac{- 2 x^{2} + (- 1 + 6) x + 3}{2 x - 1} < 0$

Étape 1.2.7.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 x^{2} - 1 x + 6 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Étape 1.2.7.6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.7.6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- 2 x^{2} - 1 x) + 6 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Étape 1.2.7.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- 2 x - 1) - 3 (- 2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Étape 1.2.7.6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 2 x - 1$ .

$\frac{(- 2 x - 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Étape 1.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{(- (2 x) - 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Étape 1.2.9

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (2 x) - 1 (1)) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Étape 1.2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Étape 1.2.11

Réécrivez $- (2 x + 1)$ comme $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Étape 1.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Étape 1.3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Étape 1.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 1.5

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.5.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 1.6

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 1.7

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 1.8

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.8.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.8.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 1.9

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - \frac{1}{2}$

$x = 3$

$x = \frac{1}{2}$

Étape 1.10

Consolidez les solutions.

$x = - \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{2}$

Étape 1.11

Déterminez le domaine de $- \frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1}$ .

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Étape 1.11.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x - 1 = 0$

Étape 1.11.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.11.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 1.11.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.11.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.11.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.11.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.11.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.11.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 1.11.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Étape 1.12

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 3$

$x > 3$

Étape 1.13

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.13.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.13.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 1.13.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5}{2 (- 3) - 1} < (- 3) - 2$

Étape 1.13.1.3

Le côté gauche $- 0.\overline{714285}$ n’est pas inférieur au côté droit $- 5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.13.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.13.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.13.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5}{2 (0) - 1} < (0) - 2$

Étape 1.13.2.3

Le côté gauche $- 5$ est inférieur au côté droit $- 2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.13.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.13.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 1.13.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5}{2 (2) - 1} < (2) - 2$

Étape 1.13.3.3

Le côté gauche $1.\overline{6}$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.13.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.13.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 1.13.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5}{2 (6) - 1} < (6) - 2$

Étape 1.13.4.3

Le côté gauche $0.\overline{45}$ est inférieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.13.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{1}{2}$ Faux

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ Vrai

$\frac{1}{2} < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

$x < - \frac{1}{2}$ Faux

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ Vrai

$\frac{1}{2} < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

Étape 1.14

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ ou $x > 3$

Étape 2

Utilisez l’inégalité $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3$ pour créer la notation de l’ensemble.

${x | - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3}$

Étape 3