Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Déterminez si la fonction est impaire, paire ou ni l’un ni l’autre pour déterminer la symétrie.

1. S’il est impair, la fonction est symétrique par rapport à l’origine.

2. S’il est pair, la fonction est symétrique par rapport à l’ordonnée.

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 2 x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$f (x) = \frac{x \cdot x^{2} - 2 x}{x^{2} - 1}$

Étape 2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$f (x) = \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 2}{x^{2} - 1}$

Étape 2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 2$ .

$f (x) = \frac{x (x^{2} - 2)}{x^{2} - 1}$

Étape 2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (x) = \frac{x (x^{2} - 2)}{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 2.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$f (x) = \frac{x (x^{2} - 2)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3

Déterminez $f (- x)$ .

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Étape 3.1

Déterminez $f (- x)$ en remplaçant $- x$ pour toutes les occurrences de $x$ dans $f (x)$ .

$f (- x) = \frac{(- x) ({(- x)}^{2} - 2)}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = \frac{- x ({(- 1)}^{2} x^{2} - 2)}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Étape 3.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- x) = \frac{- x (1 x^{2} - 2)}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Étape 3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- x) = \frac{- x (x^{2} - 2)}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Étape 3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Étape 3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{(- (x) + 1) (- x - 1)}$

Étape 3.3.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}$

Étape 3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{- (x - 1) (- x - 1)}$

Étape 3.3.5

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}$

Étape 3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}$

Étape 3.3.7

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}$

Étape 3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (1)$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}$

Étape 3.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.9.1

Réécrivez $- (x + 1)$ comme $- 1 (x + 1)$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}$

Étape 3.3.9.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{1 (x - 1) (x + 1)}$

Étape 3.3.9.3

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{(x - 1) (x + 1)}$

Étape 4

Une fonction est paire si $f (- x) = f (x)$ .

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Étape 4.1

Vérifiez si $f (- x) = f (x)$ .

Étape 4.2

Comme $- \frac{x (x^{2} - 2)}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $\frac{x (x^{2} - 2)}{(x + 1) (x - 1)}$ , la fonction n’est pas paire.

La fonction n’est pas paire

Étape 5

Une fonction est impaire si $f (- x) = - f (x)$ .

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $\frac{x (x^{2} - 2)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$- f (x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.2

Comme $- \frac{x (x^{2} - 2)}{(x - 1) (x + 1)} = - \frac{x (x^{2} - 2)}{(x + 1) (x - 1)}$ , la fonction est impaire.

La fonction est impaire

Étape 6

Comme la fonction est impaire, elle est symétrique par rapport à l’origine.

Symétrie par rapport à l’origine

Étape 7

Comme la fonction n’est pas paire, elle n’est pas symétrique par rapport à l’ordonnée.

Aucune symétrie par rapport à l’ordonnée

Étape 8

Déterminez la symétrie de la fonction.

Symétrie par rapport à l’origine

Étape 9