Algèbre Exemples

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{14}{5} x + \frac{17}{53}$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{14}{5} x + \frac{17}{53}$

Étape 1.1.2

Associez $\frac{14}{5}$ et $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{14 x}{5} + \frac{17}{53}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- \frac{x^{2}}{2} + \frac{14 x}{5} + \frac{17}{53}$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = \frac{14}{5}$

$c = \frac{17}{53}$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{14}{5}}{2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{14}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$d = \frac{2 (7)}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 7}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{7}{5} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $\frac{7}{5}$ par $\frac{1}{- \frac{1}{2}}$ .

$d = \frac{7}{5 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$d = \frac{7}{- 5 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.3.2.5

Associez $- 5$ et $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{7}{\frac{- 5}{2}}$

Étape 1.2.3.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 7 (\frac{2}{- 5})$

Étape 1.2.3.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = 7 (- \frac{2}{5})$

Étape 1.2.3.2.8

Multipliez $7 (- \frac{2}{5})$ .

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Étape 1.2.3.2.8.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$d = - 7 (\frac{2}{5})$

Étape 1.2.3.2.8.2

Associez $- 7$ et $\frac{2}{5}$ .

$d = \frac{- 7 \cdot 2}{5}$

Étape 1.2.3.2.8.3

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$d = \frac{- 14}{5}$

Étape 1.2.3.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{14}{5}$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{{(\frac{14}{5})}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{14}{5}$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{14^{2}}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{196}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{196}{25}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{196}{25}}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{196}{25}}{\frac{- 4}{2}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $- 4$ par $2$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{196}{25}}{- 2}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = \frac{17}{53} - (\frac{196}{25} \cdot \frac{1}{- 2})$

Étape 1.2.4.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $196$ .

$e = \frac{17}{53} - (\frac{2 (98)}{25} \cdot \frac{1}{- 2})$

Étape 1.2.4.2.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$e = \frac{17}{53} - (\frac{2 \cdot 98}{25} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1})$

Étape 1.2.4.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{17}{53} - (\frac{2 \cdot 98}{25} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1})$

Étape 1.2.4.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{17}{53} - (\frac{98}{25} \cdot \frac{1}{- 1})$

Étape 1.2.4.2.1.6

Multipliez $\frac{98}{25}$ par $\frac{1}{- 1}$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{98}{25 \cdot - 1}$

Étape 1.2.4.2.1.7

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{98}{- 25}$

Étape 1.2.4.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = \frac{17}{53} - - \frac{98}{25}$

Étape 1.2.4.2.1.9

Multipliez $- - \frac{98}{25}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = \frac{17}{53} + 1 (\frac{98}{25})$

Étape 1.2.4.2.1.9.2

Multipliez $\frac{98}{25}$ par $1$ .

$e = \frac{17}{53} + \frac{98}{25}$

Étape 1.2.4.2.2

Pour écrire $\frac{17}{53}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$e = \frac{17}{53} \cdot \frac{25}{25} + \frac{98}{25}$

Étape 1.2.4.2.3

Pour écrire $\frac{98}{25}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{53}{53}$ .

$e = \frac{17}{53} \cdot \frac{25}{25} + \frac{98}{25} \cdot \frac{53}{53}$

Étape 1.2.4.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $1325$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.4.2.4.1

Multipliez $\frac{17}{53}$ par $\frac{25}{25}$ .

$e = \frac{17 \cdot 25}{53 \cdot 25} + \frac{98}{25} \cdot \frac{53}{53}$

Étape 1.2.4.2.4.2

Multipliez $53$ par $25$ .

$e = \frac{17 \cdot 25}{1325} + \frac{98}{25} \cdot \frac{53}{53}$

Étape 1.2.4.2.4.3

Multipliez $\frac{98}{25}$ par $\frac{53}{53}$ .

$e = \frac{17 \cdot 25}{1325} + \frac{98 \cdot 53}{25 \cdot 53}$

Étape 1.2.4.2.4.4

Multipliez $25$ par $53$ .

$e = \frac{17 \cdot 25}{1325} + \frac{98 \cdot 53}{1325}$

Étape 1.2.4.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{17 \cdot 25 + 98 \cdot 53}{1325}$

Étape 1.2.4.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.6.1

Multipliez $17$ par $25$ .

$e = \frac{425 + 98 \cdot 53}{1325}$

Étape 1.2.4.2.6.2

Multipliez $98$ par $53$ .

$e = \frac{425 + 5194}{1325}$

Étape 1.2.4.2.6.3

Additionnez $425$ et $5194$ .

$e = \frac{5619}{1325}$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{2} {(x - \frac{14}{5})}^{2} + \frac{5619}{1325}$ .

$- \frac{1}{2} {(x - \frac{14}{5})}^{2} + \frac{5619}{1325}$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - \frac{14}{5})}^{2} + \frac{5619}{1325}$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = \frac{14}{5}$

$k = \frac{5619}{1325}$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(\frac{14}{5}, \frac{5619}{1325})$

Étape 4

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 4.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Étape 4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 4.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Étape 4.3.3

Divisez $4$ par $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 5

Déterminez la directrice.

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Étape 5.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{12563}{2650}$

Étape 6