Algèbre Exemples

$y = - \frac{1}{10} x^{2} + \frac{1}{5} x - \frac{3}{5}$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{10}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{10} + \frac{1}{5} x - \frac{3}{5}$

Étape 1.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{10} + \frac{x}{5} - \frac{3}{5}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- \frac{x^{2}}{10} + \frac{x}{5} - \frac{3}{5}$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{10}$

$b = \frac{1}{5}$

$c = - \frac{3}{5}$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{5}}{2 (- \frac{1}{10})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{10})}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{1}{5} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{10})}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = \frac{1}{5} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{10})})$

Étape 1.2.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{10}$ .

$d = \frac{1}{5} (- \frac{1}{\frac{2}{10}})$

Étape 1.2.3.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $10$ .

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Étape 1.2.3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{1}{5} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{10}})$

Étape 1.2.3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$d = \frac{1}{5} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5}})$

Étape 1.2.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{1}{5} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5}})$

Étape 1.2.3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{5} (- \frac{1}{\frac{1}{5}})$

Étape 1.2.3.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{1}{5} (- (1 \cdot 5))$

Étape 1.2.3.2.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.3.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $- (1 \cdot 5)$ .

$d = \frac{1}{5} (5 (- 1 \cdot (1)))$

Étape 1.2.3.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{1}{5} (5 (- 1 \cdot (1)))$

Étape 1.2.3.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$d = - 1 \cdot (1)$

Étape 1.2.3.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{3}{5} - \frac{{(\frac{1}{5})}^{2}}{4 (- \frac{1}{10})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5}$ .

$e = - \frac{3}{5} - \frac{\frac{1^{2}}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{10})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = - \frac{3}{5} - \frac{\frac{1}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{10})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{3}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{4 (- \frac{1}{10})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - \frac{3}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{- 4 (\frac{1}{10})}$

Étape 1.2.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{10}$ .

$e = - \frac{3}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{\frac{- 4}{10}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $10$ .

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Étape 1.2.4.2.1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$e = - \frac{3}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{\frac{2 (- 2)}{10}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$e = - \frac{3}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{3}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{3}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{\frac{- 2}{5}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{3}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{- \frac{2}{5}}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - \frac{3}{5} - (\frac{1}{25} (- \frac{5}{2}))$

Étape 1.2.4.2.1.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.4.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{2}$ dans le numérateur.

$e = - \frac{3}{5} - (\frac{1}{25} \cdot \frac{- 5}{2})$

Étape 1.2.4.2.1.5.2

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$e = - \frac{3}{5} - (\frac{1}{5 (5)} \cdot \frac{- 5}{2})$

Étape 1.2.4.2.1.5.3

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$e = - \frac{3}{5} - (\frac{1}{5 \cdot 5} \cdot \frac{5 \cdot - 1}{2})$

Étape 1.2.4.2.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{3}{5} - (\frac{1}{5 \cdot 5} \cdot \frac{5 \cdot - 1}{2})$

Étape 1.2.4.2.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{3}{5} - (\frac{1}{5} \cdot \frac{- 1}{2})$

Étape 1.2.4.2.1.6

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{- 1}{2}$ .

$e = - \frac{3}{5} - \frac{- 1}{5 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2.1.7

Multipliez $5$ par $2$ .

$e = - \frac{3}{5} - \frac{- 1}{10}$

Étape 1.2.4.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{3}{5} - - \frac{1}{10}$

Étape 1.2.4.2.1.9

Multipliez $- - \frac{1}{10}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = - \frac{3}{5} + 1 (\frac{1}{10})$

Étape 1.2.4.2.1.9.2

Multipliez $\frac{1}{10}$ par $1$ .

$e = - \frac{3}{5} + \frac{1}{10}$

Étape 1.2.4.2.2

Pour écrire $- \frac{3}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e = - \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{10}$

Étape 1.2.4.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $10$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.4.2.3.1

Multipliez $\frac{3}{5}$ par $\frac{2}{2}$ .

$e = - \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{1}{10}$

Étape 1.2.4.2.3.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$e = - \frac{3 \cdot 2}{10} + \frac{1}{10}$

Étape 1.2.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 3 \cdot 2 + 1}{10}$

Étape 1.2.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$e = \frac{- 6 + 1}{10}$

Étape 1.2.4.2.5.2

Additionnez $- 6$ et $1$ .

$e = \frac{- 5}{10}$

Étape 1.2.4.2.6

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $10$ .

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Étape 1.2.4.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$e = \frac{5 (- 1)}{10}$

Étape 1.2.4.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$e = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.4.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{1}{2}$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{10} {(x - 1)}^{2} - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{10} {(x - 1)}^{2} - \frac{1}{2}$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{10} \cdot {(x - 1)}^{2} - \frac{1}{2}$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{10}$

$h = 1$

$k = - \frac{1}{2}$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(1, - \frac{1}{2})$

Étape 4

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 4.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{10})}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{10})}$

Étape 4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{10})}$

Étape 4.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{10}}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $10$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{2 (2)}{10}}$

Étape 4.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}$

Étape 4.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}$

Étape 4.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{\frac{2}{5}}$

Étape 4.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (1 (\frac{5}{2}))$

Étape 4.3.5

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $1$ .

$- \frac{5}{2}$

Étape 5

Déterminez la directrice.

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Étape 5.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = 2$

Étape 6