Algèbre Exemples

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{3^{2}} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

${(y - 2)}^{2} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 1$

$b = 3$

$k = 2$

$h = 4$

Étape 4

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm \frac{1}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Étape 5

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 5.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Étape 5.2

Simplifiez $\frac{1}{3} \cdot (x - (4)) + 2$ .

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot (x - 4) + 2$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 4 + 2$

Étape 5.2.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 4 + 2$

Étape 5.2.1.4

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 4$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 4}{3} + 2$

Étape 5.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + 2$

Étape 5.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.2.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Étape 5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 4 + 2 \cdot 3}{3}$

Étape 5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 4 + 6}{3}$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $- 4$ et $6$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 6

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 6.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Étape 6.2

Simplifiez $- \frac{1}{3} \cdot (x - (4)) + 2$ .

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x - 4) + 2$

Étape 6.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} \cdot - 4 + 2$

Étape 6.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 4 + 2$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot - 4$ .

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Étape 6.2.1.4.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x}{3} + 4 (\frac{1}{3}) + 2$

Étape 6.2.1.4.2

Associez $4$ et $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{4}{3} + 2$

Étape 6.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.2.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{x}{3} + \frac{4 + 2 \cdot 3}{3}$

Étape 6.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{4 + 6}{3}$

Étape 6.2.5.2

Additionnez $4$ et $6$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{10}{3}$

Étape 7

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}, y = - \frac{x}{3} + \frac{10}{3}$

Étape 8

Les asymptotes sont $y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$ et $y = - \frac{x}{3} + \frac{10}{3}$ .

Asymptotes : $y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}, y = - \frac{x}{3} + \frac{10}{3}$

Étape 9