Algèbre Exemples

$y = \cos^{-1} (8 x^{5})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\cos^{-1} (8 x^{5}))$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \cos^{-1} (y)$ et $g (y) = 8 x^{5}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $8 x^{5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos^{-1} (u_{1})] \frac{d}{d y} [8 x^{5}]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\cos^{-1} (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d y} [8 x^{5}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $8 x^{5}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(8 x^{5})}^{2}}} \frac{d}{d y} [8 x^{5}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x^{5}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(8 (x^{5}))}^{2}}} \frac{d}{d y} [8 x^{5}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $8 (x^{5})$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (8^{2} {(x^{5})}^{2})}} \frac{d}{d y} [8 x^{5}]$

Étape 3.2.2.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (64 {(x^{5})}^{2})}} \frac{d}{d y} [8 x^{5}]$

Étape 3.2.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{2}$ .

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Étape 3.2.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (64 x^{5 \cdot 2})}} \frac{d}{d y} [8 x^{5}]$

Étape 3.2.2.3.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (64 x^{10})}} \frac{d}{d y} [8 x^{5}]$

Étape 3.2.2.4

Multipliez $64$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d y} [8 x^{5}]$

Étape 3.2.3

Comme $8$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $8 x^{5}$ par rapport à $y$ est $8 \frac{d}{d y} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} (8 \frac{d}{d y} [x^{5}])$

Étape 3.2.4

Associez les fractions.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$- 8 \frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d y} [x^{5}]$

Étape 3.2.4.2

Associez $- 8$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$ .

$\frac{- 8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d y} [x^{5}]$

Étape 3.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d y} [x^{5}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{5}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x$ .

$- \frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- \frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x$ .

$- \frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} (5 x^{4} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.4

Associez les fractions.

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Étape 3.4.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 \frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} (x^{4} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.4.2

Associez $- 5$ et $\frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} (x^{4} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$\frac{- 40}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} (x^{4} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.4.4

Associez $x^{4}$ et $\frac{- 40}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$ .

$\frac{x^{4} \cdot - 40}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.5.1

Déplacez $- 40$ à gauche de $x^{4}$ .

$\frac{- 40 \cdot x^{4}}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.4.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{40 x^{4}}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$- \frac{40 x^{4}}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} x'$

Étape 3.6

Associez $x'$ et $\frac{40 x^{4}}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$ .

$- \frac{x' (40 x^{4})}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{40 x' x^{4}}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$

Étape 3.7.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $40 x' x^{4}$ .

$- \frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = - \frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} = 1$ .

$- \frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- \frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $\frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$ par $1$ .

$\frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1^{2} - 64 x^{10}}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.2.2

Réécrivez $64 x^{10}$ comme ${(8 x^{5})}^{2}$ .

$\frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1^{2} - {(8 x^{5})}^{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = 8 x^{5}$ .

$\frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - (8 x^{5}))}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.2.4

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $\frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ .

$\frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.4.1

Multipliez $\frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ .

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.4.2

Élevez $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ à la puissance $1$ .

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.4.3

Élevez $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ à la puissance $1$ .

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1} {\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1 + 1}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{2}$ comme $(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})$ .

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Étape 5.2.2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ comme ${((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{{({((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{{((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{{((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{2}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{{((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{2}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{{((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{1}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.4.6.5

Simplifiez

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - 1$

Étape 5.3

Multipliez les deux côtés par $(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})$ .

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} ((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})) = - ((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))$

Étape 5.4

Simplifiez

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Étape 5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1.1

Annulez le facteur commun de $(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})$ .

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Étape 5.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} ((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})) = - ((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))$

Étape 5.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - ((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez $- ((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Développez $(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 (1 - 8 x^{5}) + 8 x^{5} (1 - 8 x^{5}))$

Étape 5.4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 \cdot 1 + 1 (- 8 x^{5}) + 8 x^{5} (1 - 8 x^{5}))$

Étape 5.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 \cdot 1 + 1 (- 8 x^{5}) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- 8 x^{5}))$

Étape 5.4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 + 1 (- 8 x^{5}) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- 8 x^{5}))$

Étape 5.4.2.1.2.1.2

Multipliez $- 8 x^{5}$ par $1$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 - 8 x^{5} + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- 8 x^{5}))$

Étape 5.4.2.1.2.1.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 x^{5} (- 8 x^{5}))$

Étape 5.4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot - 8 x^{5} x^{5})$

Étape 5.4.2.1.2.1.5

Multipliez $x^{5}$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.2.1.2.1.5.1

Déplacez $x^{5}$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot - 8 (x^{5} x^{5}))$

Étape 5.4.2.1.2.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot - 8 x^{5 + 5})$

Étape 5.4.2.1.2.1.5.3

Additionnez $5$ et $5$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot - 8 x^{10})$

Étape 5.4.2.1.2.1.6

Multipliez $8$ par $- 8$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 - 8 x^{5} + 8 x^{5} - 64 x^{10})$

Étape 5.4.2.1.2.2

Additionnez $- 8 x^{5}$ et $8 x^{5}$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 + 0 - 64 x^{10})$

Étape 5.4.2.1.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 - 64 x^{10})$

Étape 5.4.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - 1 \cdot 1 - (- 64 x^{10})$

Étape 5.4.2.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - 1 - (- 64 x^{10})$

Étape 5.4.2.1.4.2

Multipliez $- 64$ par $- 1$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - 1 + 64 x^{10}$

Étape 5.4.2.1.4.3

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $64 x^{10}$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = 64 x^{10} - 1$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = 64 x^{10} - 1$ par $40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = 64 x^{10} - 1$ par $40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ .

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} = \frac{64 x^{10}}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $40$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} = \frac{64 x^{10}}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} = \frac{64 x^{10}}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.2.3

Annulez le facteur commun de $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ .

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Étape 5.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.3.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{64 x^{10}}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $64$ et $40$ .

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Étape 5.5.3.1.1.1

Factorisez $8$ à partir de $64 x^{10}$ .

$x' = \frac{8 (8 x^{10})}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.1.2.1

Factorisez $8$ à partir de $40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ .

$x' = \frac{8 (8 x^{10})}{8 (5 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})})} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{8 (8 x^{10})}{8 (5 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})})} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{8 x^{10}}{5 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{10}$ et $x^{4}$ .

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Étape 5.5.3.1.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $8 x^{10}$ .

$x' = \frac{x^{4} (8 x^{6})}{5 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.2.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $5 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ .

$x' = \frac{x^{4} (8 x^{6})}{x^{4} (5 \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})})} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{x^{4} (8 x^{6})}{x^{4} (5 \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})})} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{8 x^{6}}{5 \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.3

Multipliez $\frac{8 x^{6}}{5 \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ .

$x' = \frac{8 x^{6}}{5 \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.3.1.4.1

Multipliez $\frac{8 x^{6}}{5 \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.4.2

Déplacez $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})})} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ à la puissance $1$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 ({\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})})} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.4.4

Élevez $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ à la puissance $1$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 ({\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1} {\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1})} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 {\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1 + 1}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 {\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{2}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.4.7

Réécrivez ${\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{2}$ comme $(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})$ .

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Étape 5.5.3.1.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ comme ${((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 {({((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{2}{2}}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.3.1.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{2}{2}}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{1}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.4.7.5

Simplifiez

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 ((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.6

Multipliez $\frac{1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - (\frac{1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}})$

Étape 5.5.3.1.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.3.1.7.1

Multipliez $\frac{1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Étape 5.5.3.1.7.2

Déplacez $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} (\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})})}$

Étape 5.5.3.1.7.3

Élevez $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ à la puissance $1$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} ({\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})})}$

Étape 5.5.3.1.7.4

Élevez $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ à la puissance $1$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} ({\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1} {\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1})}$

Étape 5.5.3.1.7.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.3.1.7.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{2}}$

Étape 5.5.3.1.7.7

Réécrivez ${\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{2}$ comme $(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})$ .

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Étape 5.5.3.1.7.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ comme ${((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {({((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.3.1.7.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.3.1.7.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.3.1.7.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.3.1.7.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.3.1.7.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{1}}$

Étape 5.5.3.1.7.7.5

Simplifiez

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} ((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}$

Étape 5.5.3.1.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.3.1.8.1

Réécrivez.

Étape 5.5.3.1.8.2

Déplacez $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ .

Étape 5.5.3.1.8.3

Élevez $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ à la puissance $1$ .

Étape 5.5.3.1.8.4

Élevez $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ à la puissance $1$ .

Étape 5.5.3.1.8.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.3.1.8.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{2}}$

Étape 5.5.3.1.8.7

Réécrivez ${\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{2}$ comme $(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})$ .

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Étape 5.5.3.1.8.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ comme ${((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {({((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.3.1.8.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.3.1.8.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.3.1.8.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.3.1.8.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.3.1.8.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{1}}$

Étape 5.5.3.1.8.7.5

Simplifiez

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} ((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}$

Étape 5.5.3.1.8.8

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.2

Pour écrire $\frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8 x^{4}}{8 x^{4}}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} \cdot \frac{8 x^{4}}{8 x^{4}} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $40 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}) x^{4}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.5.3.3.1

Multipliez $\frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ par $\frac{8 x^{4}}{8 x^{4}}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{4})}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}) (8 x^{4})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.3.2

Multipliez $8$ par $5$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{4})}{40 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}) x^{4}} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.3.3

Réorganisez les facteurs de $40 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}) x^{4}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{4})}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{4}) - \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.3.5.1

Factorisez $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ à partir de $8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{4}) - \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ .

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Étape 5.5.3.5.1.1

Factorisez $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ à partir de $8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{4})$ .

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{6} (8 x^{4})) - \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.5.1.2

Factorisez $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ à partir de $- \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ .

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{6} (8 x^{4})) + \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} \cdot - 1}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.5.1.3

Factorisez $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ à partir de $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{6} (8 x^{4})) + \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} \cdot - 1$ .

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{6} (8 x^{4}) - 1)}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.5.2

Multipliez $8$ par $8$ .

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (64 x^{6} x^{4} - 1)}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.5.3

Multipliez $x^{6}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.5.3.1

Déplacez $x^{4}$ .

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (64 (x^{4} x^{6}) - 1)}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.5.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (64 x^{4 + 6} - 1)}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.5.3.3

Additionnez $4$ et $6$ .

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (64 x^{10} - 1)}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.5.4

Réécrivez $64 x^{10}$ comme ${(8 x^{5})}^{2}$ .

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} ({(8 x^{5})}^{2} - 1)}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.5.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} ({(8 x^{5})}^{2} - 1^{2})}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.5.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 8 x^{5}$ et $b = 1$ .

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{5} + 1) (8 x^{5} - 1)}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.6.1

Annulez le facteur commun à $8 x^{5} + 1$ et $1 + 8 x^{5}$ .

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Étape 5.5.3.6.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{5} + 1) (8 x^{5} - 1)}{40 x^{4} (8 x^{5} + 1) (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.6.1.2

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{5} + 1) (8 x^{5} - 1)}{40 x^{4} (8 x^{5} + 1) (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.6.1.3

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{5} - 1)}{40 x^{4} (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.6.2

Annulez le facteur commun à $8 x^{5} - 1$ et $1 - 8 x^{5}$ .

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Étape 5.5.3.6.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $8 x^{5}$ .

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (- (- 8 x^{5}) - 1)}{40 x^{4} (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.6.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (- (- 8 x^{5}) - 1 (1))}{40 x^{4} (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.6.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 8 x^{5}) - 1 (1)$ .

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (- (- 8 x^{5} + 1))}{40 x^{4} (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.6.2.4

Réécrivez $- (- 8 x^{5} + 1)$ comme $- 1 (- 8 x^{5} + 1)$ .

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (- 1 (- 8 x^{5} + 1))}{40 x^{4} (1 - 8 x^{5})}$

Étape 5.5.3.6.2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (- 1 (- 8 x^{5} + 1))}{40 x^{4} (- 8 x^{5} + 1)}$

Étape 5.5.3.6.2.6

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (- 1 (- 8 x^{5} + 1))}{40 x^{4} (- 8 x^{5} + 1)}$

Étape 5.5.3.6.2.7

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} \cdot (- 1)}{40 x^{4}}$

Étape 5.5.3.6.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.3.6.3.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ .

$x' = \frac{- 1 \cdot \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4}}$

Étape 5.5.3.6.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4}}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4}}$