Algèbre Exemples

$x^{4} + x^{3} + 7 x^{2} + 9 x - 18$

Étape 1

Regroupez les termes.

$x^{3} + 9 x + x^{4} + 7 x^{2} - 18$

Étape 2

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + 9 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 9 x + x^{4} + 7 x^{2} - 18$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $9 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot 9 + x^{4} + 7 x^{2} - 18$

Étape 2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot 9$ .

$x (x^{2} + 9) + x^{4} + 7 x^{2} - 18$

Étape 3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} + 9) + {(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} - 18$

Étape 4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (x^{2} + 9) + u^{2} + 7 u - 18$

Étape 5

Factorisez $u^{2} + 7 u - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + i x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $i$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $7$ .

$- 2, 9$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x (x^{2} + 9) + (u - 2) (u + 9)$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 9) + (x^{2} - 2) (x^{2} + 9)$

Étape 7

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $x (x^{2} + 9) + (x^{2} - 2) (x^{2} + 9)$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $x (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) x + (x^{2} - 2) (x^{2} + 9)$

Étape 7.2

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $(x^{2} - 2) (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) x + (x^{2} + 9) (x^{2} - 2)$

Étape 7.3

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $(x^{2} + 9) x + (x^{2} + 9) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} + 9) (x + x^{2} - 2)$

Étape 8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} + 9) (u + u^{2} - 2)$

Étape 9

Factorisez $u + u^{2} - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.1

Étudiez la forme $x^{2} + i x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $i$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x^{2} + 9) ((u - 1) (u + 2))$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} + 9) ((x - 1) (x + 2))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2)$

Étape 11

Multipliez la constante dans le polynôme $x^{2} + 9$ par $- i^{2}$ où $i^{2}$ est égal à $- 1$ .

$(x^{2} - 9 i^{2}) (x - 1) (x + 2)$

Étape 12

Réécrivez $9 i^{2}$ comme ${(3 i)}^{2}$ .

$(x^{2} - {(3 i)}^{2}) (x - 1) (x + 2)$

Étape 13

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ où $a = x$ et $i = 3 i$ .

$(x + 3 i) (x - (3 i)) (x - 1) (x + 2)$

Étape 14

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$(x + 3 i) (x - 3 i) (x - 1) (x + 2)$