Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{1}{9} x^{2} + 2$ , $x \geq 0$

Étape 1

Déterminez la plage de la fonction donnée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

$[2, \infty)$

Étape 1.2

Convertissez $[2, \infty)$ en une inégalité.

$y \geq 2$

Étape 2

Déterminez l’inverse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{9} y^{2} + 2$

Étape 2.2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{9} y^{2} + 2 = x$ .

$\frac{1}{9} y^{2} + 2 = x$

Étape 2.2.2

Associez $\frac{1}{9}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{9} + 2 = x$

Étape 2.2.3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{9} = x - 2$

Étape 2.2.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $9$ .

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (x - 2)$

Étape 2.2.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (x - 2)$

Étape 2.2.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 9 (x - 2)$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.1

Simplifiez $9 (x - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 9 x + 9 \cdot - 2$

Étape 2.2.5.2.1.2

Multipliez $9$ par $- 2$ .

$y^{2} = 9 x - 18$

Étape 2.2.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{9 x - 18}$

Étape 2.2.7

Simplifiez $\pm \sqrt{9 x - 18}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.7.1

Factorisez $9$ à partir de $9 x - 18$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.7.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 x$ .

$y = \pm \sqrt{9 (x) - 18}$

Étape 2.2.7.1.2

Factorisez $9$ à partir de $- 18$ .

$y = \pm \sqrt{9 x + 9 \cdot - 2}$

Étape 2.2.7.1.3

Factorisez $9$ à partir de $9 x + 9 \cdot - 2$ .

$y = \pm \sqrt{9 (x - 2)}$

Étape 2.2.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} (x - 2)}$

Étape 2.2.7.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm 3 \sqrt{x - 2}$

Étape 2.2.8

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = 3 \sqrt{x - 2}$

Étape 2.2.8.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - 3 \sqrt{x - 2}$

Étape 2.2.8.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = 3 \sqrt{x - 2}$

$y = - 3 \sqrt{x - 2}$

$y = 3 \sqrt{x - 2}$

$y = - 3 \sqrt{x - 2}$

$y = 3 \sqrt{x - 2}$

$y = - 3 \sqrt{x - 2}$

Étape 2.3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{x - 2}, - 3 \sqrt{x - 2}$

Étape 3

Déterminez l’inverse en utilisant le domaine et la plage de la fonction d’origine.

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{x - 2}, x \geq 2$

Étape 4