Algèbre Exemples

$f (x) = 3 x^{2} + 5$ , $x \geq 0$

Étape 1

Déterminez la plage de la fonction donnée.

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Étape 1.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

$[5, \infty)$

Étape 1.2

Convertissez $[5, \infty)$ en une inégalité.

$y \geq 5$

Étape 2

Déterminez l’inverse.

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Étape 2.1

Interchangez les variables.

$x = 3 y^{2} + 5$

Étape 2.2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $3 y^{2} + 5 = x$ .

$3 y^{2} + 5 = x$

Étape 2.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} = x - 5$

Étape 2.2.3

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} = x - 5$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} = x - 5$ par $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Étape 2.2.3.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Étape 2.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = \frac{x}{3} - \frac{5}{3}$

Étape 2.2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{3} - \frac{5}{3}}$

Étape 2.2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{x}{3} - \frac{5}{3}}$ .

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Étape 2.2.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 5}{3}}$

Étape 2.2.5.2

Réécrivez $\sqrt{\frac{x - 5}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2.5.3

Multipliez $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.5.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.2.5.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.2.5.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.2.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.2.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.2.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.2.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.2.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.2.5.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 3}}{3}$

Étape 2.2.5.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

Étape 2.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

Étape 2.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

Étape 2.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

Étape 2.3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

Étape 3

Déterminez l’inverse en utilisant le domaine et la plage de la fonction d’origine.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}, x \geq 5$

Étape 4