Algèbre Exemples

$f (x) = x^{2} - 2 x$ , $x \leq 1$

Étape 1

Déterminez la plage de la fonction donnée.

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Étape 1.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

$[- 1, \infty)$

Étape 1.2

Convertissez $[- 1, \infty)$ en une inégalité.

$y \geq - 1$

Étape 2

Déterminez l’inverse.

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Étape 2.1

Interchangez les variables.

$x = y^{2} - 2 y$

Étape 2.2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $y^{2} - 2 y = x$ .

$y^{2} - 2 y = x$

Étape 2.2.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 2 y - x = 0$

Étape 2.2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 + 4 x$ .

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Étape 2.2.5.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.4

Réécrivez $4 (1 + x)$ comme $2^{2} (1^{2} + x)$ .

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Étape 2.2.5.1.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Étape 2.2.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 + 4 x$ .

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Étape 2.2.6.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.4

Réécrivez $4 (1 + x)$ comme $2^{2} (1^{2} + x)$ .

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Étape 2.2.6.1.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Étape 2.2.6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Étape 2.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

Étape 2.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.7.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 + 4 x$ .

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Étape 2.2.7.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.4

Réécrivez $4 (1 + x)$ comme $2^{2} (1^{2} + x)$ .

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Étape 2.2.7.1.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Étape 2.2.7.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Étape 2.2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

Étape 2.2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

Étape 2.3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$

Étape 3

Déterminez l’inverse en utilisant le domaine et la plage de la fonction d’origine.

$f^{- 1} (x) = 1 - \sqrt{1 + x}, x \geq - 1$

Étape 4