Algèbre Exemples

$f (x) = 9 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x - 4$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{9}$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$9 {(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 4$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$9 \cdot - 1 + 9 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 4$

Étape 4.1.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$- 9 + 9 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 4$

Étape 4.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 9 + 9 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 4$

Étape 4.1.4

Multipliez $9$ par $1$ .

$- 9 + 9 - 4 \cdot - 1 - 4$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- 9 + 9 + 4 - 4$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$0 + 4 - 4$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$4 - 4$

Étape 4.2.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{9 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x - 4}{x + 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(9)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$

	$9$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(9)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 9)$ sous le terme suivant dans le dividende $(9)$ .

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$
		$- 9$
	$9$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$
		$- 9$
	$9$	$0$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 4)$ .

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$
		$- 9$	$0$
	$9$	$0$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$
		$- 9$	$0$
	$9$	$0$	$- 4$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 4)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 4)$ .

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$
		$- 9$	$0$	$4$
	$9$	$0$	$- 4$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$
		$- 9$	$0$	$4$
	$9$	$0$	$- 4$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$9 x^{2} + 0 x - 4$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$9 x^{2} - 4$

Étape 7

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$(x + 1) {(3 x)}^{2} - 4$

Étape 8

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x + 1) {(3 x)}^{2} - 2^{2}$

Étape 9

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 x$ et $b = 2$ .

$(x + 1) (3 x + 2) (3 x - 2)$

Étape 10

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 10.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 10.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(9 x^{3} + 9 x^{2}) - 4 x - 4 = 0$

Étape 10.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$9 x^{2} (x + 1) - 4 (x + 1) = 0$

Étape 10.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 1$ .

$(x + 1) (9 x^{2} - 4) = 0$

Étape 10.3

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$(x + 1) ({(3 x)}^{2} - 4) = 0$

Étape 10.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x + 1) ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 10.5

Factorisez.

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Étape 10.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 x$ et $b = 2$ .

$(x + 1) ((3 x + 2) (3 x - 2)) = 0$

Étape 10.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (3 x + 2) (3 x - 2) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 2 = 0$

Étape 12

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 12.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 13

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $3 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 13.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 13.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 13.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 13.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 13.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 13.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 14

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Étape 14.2

Résolvez $3 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 14.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 2$

Étape 14.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 14.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 14.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 14.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 14.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Étape 15

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (3 x + 2) (3 x - 2) = 0$ vraie.

$x = - 1, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$

Étape 16