Algèbre Exemples

$[\begin{array}{c} x & 0 & - 2 \\ 3 & x & x^{2} \\ - 5 & x & 1 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & x^{2} \\ - 5 & 1 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & x^{2} \\ - 5 & 1 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & - 2 \\ - 5 & 1 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} x & - 2 \\ - 5 & 1 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & - 2 \\ 3 & x^{2} \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$- x | \begin{array}{c} x & - 2 \\ 3 & x^{2} \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} 3 & x^{2} \\ - 5 & 1 \end{array} | + x | \begin{array}{c} x & - 2 \\ - 5 & 1 \end{array} | - x | \begin{array}{c} x & - 2 \\ 3 & x^{2} \end{array} |$

Étape 2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 3 & x^{2} \\ - 5 & 1 \end{array} |$ .

$0 + x | \begin{array}{c} x & - 2 \\ - 5 & 1 \end{array} | - x | \begin{array}{c} x & - 2 \\ 3 & x^{2} \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} x & - 2 \\ - 5 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + x (x \cdot 1 - (- 5 \cdot - 2)) - x | \begin{array}{c} x & - 2 \\ 3 & x^{2} \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$0 + x (x - (- 5 \cdot - 2)) - x | \begin{array}{c} x & - 2 \\ 3 & x^{2} \end{array} |$

Étape 3.2.2

Multipliez $- (- 5 \cdot - 2)$ .

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $- 5$ par $- 2$ .

$0 + x (x - 1 \cdot 10) - x | \begin{array}{c} x & - 2 \\ 3 & x^{2} \end{array} |$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$0 + x (x - 10) - x | \begin{array}{c} x & - 2 \\ 3 & x^{2} \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} x & - 2 \\ 3 & x^{2} \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + x (x - 10) - x (x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$0 + x (x - 10) - x (x^{1} x^{2} - 3 \cdot - 2)$

Étape 4.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 + x (x - 10) - x (x^{1 + 2} - 3 \cdot - 2)$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$0 + x (x - 10) - x (x^{3} - 3 \cdot - 2)$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$0 + x (x - 10) - x (x^{3} + 6)$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Additionnez $0$ et $x (x - 10)$ .

$x (x - 10) - x (x^{3} + 6)$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 10 - x (x^{3} + 6)$

Étape 5.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 10 - x (x^{3} + 6)$

Étape 5.2.3

Déplacez $- 10$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 10 \cdot x - x (x^{3} + 6)$

Étape 5.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 10 x - x \cdot x^{3} - x \cdot 6$

Étape 5.2.5

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.5.1

Déplacez $x^{3}$ .

$x^{2} - 10 x - (x^{3} x) - x \cdot 6$

Étape 5.2.5.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} - 10 x - (x^{3} x^{1}) - x \cdot 6$

Étape 5.2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} - 10 x - x^{3 + 1} - x \cdot 6$

Étape 5.2.5.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{2} - 10 x - x^{4} - x \cdot 6$

Étape 5.2.6

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$x^{2} - 10 x - x^{4} - 6 x$

Étape 5.3

Soustrayez $6 x$ de $- 10 x$ .

$x^{2} - x^{4} - 16 x$