Algèbre Exemples

$8 x^{2} - 3 = \sqrt{16 x + 9}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\sqrt{16 x + 9} = 8 x^{2} - 3$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{16 x + 9}}^{2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{16 x + 9}$ comme ${(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(16 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(16 x + 9)}^{1} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$16 x + 9 = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(8 x^{2} - 3)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(8 x^{2} - 3)}^{2}$ comme $(8 x^{2} - 3) (8 x^{2} - 3)$ .

$16 x + 9 = (8 x^{2} - 3) (8 x^{2} - 3)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(8 x^{2} - 3) (8 x^{2} - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$16 x + 9 = 8 x^{2} (8 x^{2} - 3) - 3 (8 x^{2} - 3)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$16 x + 9 = 8 x^{2} (8 x^{2}) + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2} - 3)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$16 x + 9 = 8 x^{2} (8 x^{2}) + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 x^{2} x^{2} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 (x^{2} x^{2}) + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Étape 3.3.1.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 x^{2 + 2} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Étape 3.3.1.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 x^{4} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $8$ par $8$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 24 x^{2} - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Étape 3.3.1.3.1.5

Multipliez $8$ par $- 3$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 24 x^{2} - 24 x^{2} - 3 \cdot - 3$

Étape 3.3.1.3.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 24 x^{2} - 24 x^{2} + 9$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $24 x^{2}$ de $- 24 x^{2}$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 48 x^{2} + 9$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 = 16 x + 9$

Étape 4.2

Soustrayez $16 x$ des deux côtés de l’équation.

$64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 - 16 x = 9$

Étape 4.3

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 - 16 x - 9 = 0$

Étape 4.4

Associez les termes opposés dans $64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 - 16 x - 9$ .

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Étape 4.4.1

Soustrayez $9$ de $9$ .

$64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x + 0 = 0$

Étape 4.4.2

Additionnez $64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x$ et $0$ .

$64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x = 0$

Étape 4.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.5.1

Factorisez $16 x$ à partir de $64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x$ .

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Étape 4.5.1.1

Factorisez $16 x$ à partir de $64 x^{4}$ .

$16 x (4 x^{3}) - 48 x^{2} - 16 x = 0$

Étape 4.5.1.2

Factorisez $16 x$ à partir de $- 48 x^{2}$ .

$16 x (4 x^{3}) + 16 x (- 3 x) - 16 x = 0$

Étape 4.5.1.3

Factorisez $16 x$ à partir de $- 16 x$ .

$16 x (4 x^{3}) + 16 x (- 3 x) + 16 x (- 1) = 0$

Étape 4.5.1.4

Factorisez $16 x$ à partir de $16 x (4 x^{3}) + 16 x (- 3 x)$ .

$16 x (4 x^{3} - 3 x) + 16 x (- 1) = 0$

Étape 4.5.1.5

Factorisez $16 x$ à partir de $16 x (4 x^{3} - 3 x) + 16 x (- 1)$ .

$16 x (4 x^{3} - 3 x - 1) = 0$

Étape 4.5.2

Factorisez $4 x^{3} - 3 x - 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 4.5.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 4.5.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5$

Étape 4.5.2.3

Remplacez $- 0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.5.2.3.1

Remplacez $- 0.5$ dans le polynôme.

$4 {(- 0.5)}^{3} - 3 \cdot - 0.5 - 1$

Étape 4.5.2.3.2

Élevez $- 0.5$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot - 0.125 - 3 \cdot - 0.5 - 1$

Étape 4.5.2.3.3

Multipliez $4$ par $- 0.125$ .

$- 0.5 - 3 \cdot - 0.5 - 1$

Étape 4.5.2.3.4

Multipliez $- 3$ par $- 0.5$ .

$- 0.5 + 1.5 - 1$

Étape 4.5.2.3.5

Additionnez $- 0.5$ et $1.5$ .

$1 - 1$

Étape 4.5.2.3.6

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 4.5.2.4

Comme $- 0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{3} - 3 x - 1}{2 x + 1}$

Étape 4.5.2.5

Divisez $4 x^{3} - 3 x - 1$ par $2 x + 1$ .

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Étape 4.5.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$1$

Étape 4.5.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$

Étape 4.5.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			+	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 4.5.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 4.5.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 4.5.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 4.5.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 4.5.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$

Étape 4.5.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} - x$

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$

Étape 4.5.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Étape 4.5.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$

Étape 4.5.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$

Étape 4.5.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$
							-	$2 x$	-	$1$

Étape 4.5.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x - 1$

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	+	$1$

Étape 4.5.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	+	$1$
										$0$

Étape 4.5.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} - x - 1$

Étape 4.5.2.6

Écrivez $4 x^{3} - 3 x - 1$ comme un ensemble de facteurs.

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} - x - 1)) = 0$

Étape 4.5.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.5.3.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.5.3.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 4.5.3.1.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} - (x) - 1)) = 0$

Étape 4.5.3.1.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} + (1 - 2) x - 1)) = 0$

Étape 4.5.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1)) = 0$

Étape 4.5.3.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} + x - 2 x - 1)) = 0$

Étape 4.5.3.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.5.3.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$16 x ((2 x + 1) ((2 x^{2} + x) - 2 x - 1)) = 0$

Étape 4.5.3.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$16 x ((2 x + 1) (x (2 x + 1) - (2 x + 1))) = 0$

Étape 4.5.3.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$16 x ((2 x + 1) ((2 x + 1) (x - 1))) = 0$

Étape 4.5.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$16 x ((2 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 4.5.4

Factorisez.

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Étape 4.5.4.1

Associez les facteurs similaires.

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Étape 4.5.4.1.1

Élevez $2 x + 1$ à la puissance $1$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 4.5.4.1.2

Élevez $2 x + 1$ à la puissance $1$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 4.5.4.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 x ({(2 x + 1)}^{1 + 1} (x - 1)) = 0$

Étape 4.5.4.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$16 x ({(2 x + 1)}^{2} (x - 1)) = 0$

Étape 4.5.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$16 x {(2 x + 1)}^{2} (x - 1) = 0$

Étape 4.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 4.7

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4.8

Définissez ${(2 x + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.8.1

Définissez ${(2 x + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

Étape 4.8.2

Résolvez ${(2 x + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.8.2.1

Définissez le $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 4.8.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.8.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 4.8.2.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.8.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 4.8.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.8.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.8.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 4.8.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 4.8.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.8.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 4.9

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.9.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 4.9.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 4.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $16 x {(2 x + 1)}^{2} (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{1}{2}, 1$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $8 x^{2} - 3 = \sqrt{16 x + 9}$ vrai.

$x = 1$