Algèbre Exemples

$12 x^{2} + 12 y^{2} - 84 y + 147 = 0$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2

Remplacez les valeurs $a = 12$ , $b = - 84$ et $c = 12 x^{2} + 147$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{84 \pm \sqrt{{(- 84)}^{2} - 4 \cdot (12 \cdot (12 x^{2} + 147))}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.1.1

Élevez $- 84$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 4 \cdot 12 \cdot (12 x^{2} + 147)}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 48 \cdot (12 x^{2} + 147)}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 48 (12 x^{2}) - 48 \cdot 147}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $12$ par $- 48$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 576 x^{2} - 48 \cdot 147}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $- 48$ par $147$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 576 x^{2} - 7056}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.3.1.6

Soustrayez $7056$ de $7056$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{- 576 x^{2} + 0}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.3.1.7

Additionnez $- 576 x^{2}$ et $0$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{- 576 x^{2}}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.3.1.8

Réécrivez $- 576 x^{2}$ comme ${(24 x)}^{2} \cdot - 1$ .

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Étape 1.3.1.8.1

Factorisez $576$ à partir de $- 576$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{576 (- 1) x^{2}}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.3.1.8.2

Réécrivez $576$ comme $24^{2}$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{24^{2} \cdot (- 1 x^{2})}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.3.1.8.3

Déplacez $- 1$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{24^{2} x^{2} \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.3.1.8.4

Réécrivez $24^{2} x^{2}$ comme ${(24 x)}^{2}$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{{(24 x)}^{2} \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.3.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{84 \pm 24 x \sqrt{- 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.3.1.10

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{84 \pm 24 x i}{2 \cdot 12}$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $12$ .

$y = \frac{84 \pm 24 x i}{24}$

Étape 1.3.3

Simplifiez $\frac{84 \pm 24 x i}{24}$ .

$y = \frac{7 \pm 2 x i}{2}$

Étape 1.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.1

Élevez $- 84$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 4 \cdot 12 \cdot (12 x^{2} + 147)}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 48 \cdot (12 x^{2} + 147)}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 48 (12 x^{2}) - 48 \cdot 147}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.4.1.4

Multipliez $12$ par $- 48$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 576 x^{2} - 48 \cdot 147}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.4.1.5

Multipliez $- 48$ par $147$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 576 x^{2} - 7056}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.4.1.6

Soustrayez $7056$ de $7056$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{- 576 x^{2} + 0}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.4.1.7

Additionnez $- 576 x^{2}$ et $0$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{- 576 x^{2}}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.4.1.8

Réécrivez $- 576 x^{2}$ comme ${(24 x)}^{2} \cdot - 1$ .

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Étape 1.4.1.8.1

Factorisez $576$ à partir de $- 576$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{576 (- 1) x^{2}}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.4.1.8.2

Réécrivez $576$ comme $24^{2}$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{24^{2} \cdot (- 1 x^{2})}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.4.1.8.3

Déplacez $- 1$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{24^{2} x^{2} \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.4.1.8.4

Réécrivez $24^{2} x^{2}$ comme ${(24 x)}^{2}$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{{(24 x)}^{2} \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.4.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{84 \pm 24 x \sqrt{- 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.4.1.10

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{84 \pm 24 x i}{2 \cdot 12}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $12$ .

$y = \frac{84 \pm 24 x i}{24}$

Étape 1.4.3

Simplifiez $\frac{84 \pm 24 x i}{24}$ .

$y = \frac{7 \pm 2 x i}{2}$

Étape 1.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{7 + 2 x i}{2}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Élevez $- 84$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 4 \cdot 12 \cdot (12 x^{2} + 147)}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 48 \cdot (12 x^{2} + 147)}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 48 (12 x^{2}) - 48 \cdot 147}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.5.1.4

Multipliez $12$ par $- 48$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 576 x^{2} - 48 \cdot 147}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.5.1.5

Multipliez $- 48$ par $147$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 576 x^{2} - 7056}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.5.1.6

Soustrayez $7056$ de $7056$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{- 576 x^{2} + 0}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.5.1.7

Additionnez $- 576 x^{2}$ et $0$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{- 576 x^{2}}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.5.1.8

Réécrivez $- 576 x^{2}$ comme ${(24 x)}^{2} \cdot - 1$ .

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Étape 1.5.1.8.1

Factorisez $576$ à partir de $- 576$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{576 (- 1) x^{2}}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.5.1.8.2

Réécrivez $576$ comme $24^{2}$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{24^{2} \cdot (- 1 x^{2})}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.5.1.8.3

Déplacez $- 1$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{24^{2} x^{2} \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.5.1.8.4

Réécrivez $24^{2} x^{2}$ comme ${(24 x)}^{2}$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{{(24 x)}^{2} \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{84 \pm 24 x \sqrt{- 1}}{2 \cdot 12}$

Étape 1.5.1.10

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{84 \pm 24 x i}{2 \cdot 12}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $12$ .

$y = \frac{84 \pm 24 x i}{24}$

Étape 1.5.3

Simplifiez $\frac{84 \pm 24 x i}{24}$ .

$y = \frac{7 \pm 2 x i}{2}$

Étape 1.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{7 - 2 x i}{2}$

Étape 1.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{7 + 2 x i}{2}$

$y = \frac{7 - 2 x i}{2}$

$y = \frac{7 + 2 x i}{2}$

$y = \frac{7 - 2 x i}{2}$

Étape 2

Divisez la première expression par la deuxième expression.

$y = \frac{\frac{7 + 2 x i}{2}}{\frac{7 - 2 x i}{2}}$

Étape 3

Développez $\frac{7 + 2 x i}{2}$ .

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Étape 3.1

Divisez la fraction $\frac{7 + 2 x i}{2}$ en deux fractions.

$\frac{\frac{7}{2} + \frac{2 x i}{2}}{\frac{7 - 2 x i}{2}}$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre $\frac{7}{2}$ et $\frac{2 x i}{2}$ .

$\frac{\frac{2 x i}{2} + \frac{7}{2}}{\frac{7 - 2 x i}{2}}$

Étape 4

Développez $\frac{7 - 2 x i}{2}$ .

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Étape 4.1

Divisez la fraction $\frac{7 - 2 x i}{2}$ en deux fractions.

$\frac{\frac{2 x i}{2} + \frac{7}{2}}{\frac{7}{2} + \frac{- 2 x i}{2}}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $\frac{7}{2}$ et $\frac{- 2 x i}{2}$ .

$\frac{\frac{2 x i}{2} + \frac{7}{2}}{\frac{- 2 x i}{2} + \frac{7}{2}}$

Étape 5

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$\frac{- 2 x i}{2}$

$\frac{7}{2}$

$\frac{2 x i}{2}$

$\frac{7}{2}$

Étape 6

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $\frac{2 x i}{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $\frac{- 2 x i}{2}$ .

				-	$1$
	$\frac{- 2 x i}{2}$	+	$\frac{7}{2}$		$\frac{2 x i}{2}$	+	$\frac{7}{2}$

Étape 7

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$1$
$\frac{- 2 x i}{2}$	+	$\frac{7}{2}$		$\frac{2 x i}{2}$	+	$\frac{7}{2}$
			+	$x i$	-	$\frac{7}{2}$

Étape 8

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x i - \frac{7}{2}$

			-	$1$
$\frac{- 2 x i}{2}$	+	$\frac{7}{2}$		$\frac{2 x i}{2}$	+	$\frac{7}{2}$
			-	$x i$	+	$\frac{7}{2}$

Étape 9

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$1$
$\frac{- 2 x i}{2}$	+	$\frac{7}{2}$		$\frac{2 x i}{2}$	+	$\frac{7}{2}$
			-	$x i$	+	$\frac{7}{2}$
					+	$7$

Étape 10

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$y = - 1 + \frac{7}{\frac{- 2 x i}{2} + \frac{7}{2}}$

Étape 11