Algèbre Exemples

$(- 1, \frac{1}{4})$ , $(0, 1)$ , $(1, 4)$

Étape 1

Utilisez la forme normalisée de l’équation quadratique $y = a x^{2} + b x + c$ comme point de départ pour déterminer l’équation avec les trois points.

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 2

Créez un système d’équations en remplaçant les valeurs $x$ et $y$ de chaque point dans la formule standard d’une équation quadratique pour créer le système à trois équations.

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c, 1 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 4 = a {(1)}^{2} + b (1) + c$

Étape 3

Résolvez le système d’équations pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

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Étape 3.1

Résolvez $c$ dans $1 = a \cdot 0^{2} + c$ .

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Étape 3.1.1

Réécrivez l’équation comme $a \cdot 0^{2} + c = 1$ .

$a \cdot 0^{2} + c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

Étape 3.1.2

Simplifiez $a \cdot 0^{2} + c$ .

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$a \cdot 0 + c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $a$ par $0$ .

$0 + c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

$0 + c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $0$ et $c$ .

$c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

$c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

$c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de $c$ par $1$ dans chaque équation.

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Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $c$ dans $\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$ par $1$ .

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4} = a \cdot 1 + b (- 1) + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

Étape 3.2.2.2.1.2

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{1}{4} = a + b (- 1) + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

Étape 3.2.2.2.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $b$ .

$\frac{1}{4} = a - 1 b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

Étape 3.2.2.2.1.4

Réécrivez $- 1 b$ comme $- b$ .

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $c$ dans $4 = a + b + c$ par $1$ .

$4 = a + b + 1$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1

Supprimez les parenthèses.

$4 = a + b + 1$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + 1$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + 1$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

Étape 3.3

Résolvez $a$ dans $4 = a + b + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $a + b + 1 = 4$ .

$a + b + 1 = 4$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $b$ des deux côtés de l’équation.

$a + 1 = 4 - b$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$a = 4 - b - 1$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

Étape 3.3.2.3

Soustrayez $1$ de $4$ .

$a = - b + 3$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$a = - b + 3$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$a = - b + 3$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de $a$ par $- b + 3$ dans chaque équation.

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Étape 3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $a$ dans $\frac{1}{4} = a - b + 1$ par $- b + 3$ .

$\frac{1}{4} = (- b + 3) - b + 1$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez $(- b + 3) - b + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Soustrayez $b$ de $- b$ .

$\frac{1}{4} = - 2 b + 3 + 1$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Étape 3.4.2.1.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{1}{4} = - 2 b + 4$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$\frac{1}{4} = - 2 b + 4$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$\frac{1}{4} = - 2 b + 4$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$\frac{1}{4} = - 2 b + 4$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Étape 3.5

Résolvez $b$ dans $\frac{1}{4} = - 2 b + 4$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 b + 4 = \frac{1}{4}$ .

$- 2 b + 4 = \frac{1}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Étape 3.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $b$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 b = \frac{1}{4} - 4$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Étape 3.5.2.2

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- 2 b = \frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Étape 3.5.2.3

Associez $- 4$ et $\frac{4}{4}$ .

$- 2 b = \frac{1}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Étape 3.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 b = \frac{1 - 4 \cdot 4}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Étape 3.5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.5.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$- 2 b = \frac{1 - 16}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Étape 3.5.2.5.2

Soustrayez $16$ de $1$ .

$- 2 b = \frac{- 15}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$- 2 b = \frac{- 15}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Étape 3.5.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 2 b = - \frac{15}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$- 2 b = - \frac{15}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $- 2 b = - \frac{15}{4}$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 b = - \frac{15}{4}$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 b}{- 2} = \frac{- \frac{15}{4}}{- 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 b}{- 2} = \frac{- \frac{15}{4}}{- 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Étape 3.5.3.2.1.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b = \frac{- \frac{15}{4}}{- 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$b = \frac{- \frac{15}{4}}{- 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$b = \frac{- \frac{15}{4}}{- 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Étape 3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$b = - \frac{15}{4} \cdot \frac{1}{- 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Étape 3.5.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$b = - \frac{15}{4} \cdot (- \frac{1}{2})$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Étape 3.5.3.3.3

Multipliez $- \frac{15}{4} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 3.5.3.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$b = 1 (\frac{15}{4}) \cdot \frac{1}{2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Étape 3.5.3.3.3.2

Multipliez $\frac{15}{4}$ par $1$ .

$b = \frac{15}{4} \cdot \frac{1}{2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Étape 3.5.3.3.3.3

Multipliez $\frac{15}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$b = \frac{15}{4 \cdot 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Étape 3.5.3.3.3.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$b = \frac{15}{8}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$b = \frac{15}{8}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$b = \frac{15}{8}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$b = \frac{15}{8}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$b = \frac{15}{8}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Étape 3.6

Remplacez toutes les occurrences de $b$ par $\frac{15}{8}$ dans chaque équation.

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Étape 3.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $b$ dans $a = - b + 3$ par $\frac{15}{8}$ .

$a = - (\frac{15}{8}) + 3$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.1

Simplifiez $- (\frac{15}{8}) + 3$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$a = - \frac{15}{8} + 3 \cdot \frac{8}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

Étape 3.6.2.1.2

Associez $3$ et $\frac{8}{8}$ .

$a = - \frac{15}{8} + \frac{3 \cdot 8}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

Étape 3.6.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a = \frac{- 15 + 3 \cdot 8}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

Étape 3.6.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.2.1.4.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$a = \frac{- 15 + 24}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

Étape 3.6.2.1.4.2

Additionnez $- 15$ et $24$ .

$a = \frac{9}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

$a = \frac{9}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

$a = \frac{9}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

$a = \frac{9}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

$a = \frac{9}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

Étape 3.7

Indiquez toutes les solutions.

$a = \frac{9}{8}, b = \frac{15}{8}, c = 1$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles de $a$ , $b$ et $c$ dans la formule pour une équation quadratique afin de déterminer l’équation résultante.

$y = \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{15 x}{8} + 1$

Étape 5