Algèbre Exemples

$x^{4} - 10 x^{3} + 23 x^{2}$

Étape 1

Définissez $x^{4} - 10 x^{3} + 23 x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{4} - 10 x^{3} + 23 x^{2} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 10 x^{3} + 23 x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 10 x^{3} + 23 x^{2} = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 10 x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 10 x) + 23 x^{2} = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $23 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 23 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 10 x)$ .

$x^{2} (x^{2} - 10 x) + x^{2} \cdot 23 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} - 10 x) + x^{2} \cdot 23$ .

$x^{2} (x^{2} - 10 x + 23) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 10 x + 23 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2} - 10 x + 23$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $x^{2} - 10 x + 23$ égal à $0$ .

$x^{2} - 10 x + 23 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} - 10 x + 23 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 10$ et $c = 23$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 23)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 23$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $23$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 92}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.3

Soustrayez $92$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.2.3.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 23$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $23$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 92}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.3

Soustrayez $92$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.2.4.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 5 + \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.5.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 23$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $23$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 92}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.3

Soustrayez $92$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.2.5.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 5 - \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 5 + \sqrt{2}, 5 - \sqrt{2}$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (x^{2} - 10 x + 23) = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$x = 0$ (Multiplicité de $2$ )

$x = 5 + \sqrt{2}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 5 - \sqrt{2}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 0$ (Multiplicité de $2$ )

$x = 5 + \sqrt{2}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 5 - \sqrt{2}$ (Multiplicité de $1$ )

Étape 3