Algèbre Exemples

$\frac{2}{3}$ , $\frac{1}{6}$ , $- \frac{1}{3}$ , $- \frac{5}{6}$

Étape 1

C’est une séquence arithmétique car il y a une différence commune entre chaque terme. Dans ce cas, l’ajout de $- \frac{1}{2}$ au terme précédent dans la séquence produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ .

Séquence arithmétique : $d = - \frac{1}{2}$

Étape 2

C’est la formule d’une séquence arithmétique.

$a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = \frac{2}{3}$ et $d = - \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} (n - 1)$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$a_{n} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} n - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 4.2

Associez $n$ et $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{2}{3} - \frac{n}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 4.3

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a_{n} = \frac{2}{3} - \frac{n}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$a_{n} = \frac{2}{3} - \frac{n}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5

Pour écrire $\frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$a_{n} = - \frac{n}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 6

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$a_{n} = - \frac{n}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$a_{n} = - \frac{n}{2} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$a_{n} = - \frac{n}{2} + \frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$a_{n} = - \frac{n}{2} + \frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Étape 7.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$a_{n} = - \frac{n}{2} + \frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3}{6}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a_{n} = - \frac{n}{2} + \frac{2 \cdot 2 + 3}{6}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$a_{n} = - \frac{n}{2} + \frac{4 + 3}{6}$

Étape 9.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$a_{n} = - \frac{n}{2} + \frac{7}{6}$

Étape 10

Remplacez dans la valeur de $n$ pour déterminer le $n$ ième terme.

$a_{5} = - \frac{5}{2} + \frac{7}{6}$

Étape 11

Pour écrire $- \frac{5}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$a_{5} = - \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{7}{6}$

Étape 12

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 12.1

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$a_{5} = - \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{7}{6}$

Étape 12.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$a_{5} = - \frac{5 \cdot 3}{6} + \frac{7}{6}$

Étape 13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a_{5} = \frac{- 5 \cdot 3 + 7}{6}$

Étape 14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$a_{5} = \frac{- 15 + 7}{6}$

Étape 14.2

Additionnez $- 15$ et $7$ .

$a_{5} = \frac{- 8}{6}$

Étape 15

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $6$ .

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Étape 15.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$a_{5} = \frac{2 (- 4)}{6}$

Étape 15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$a_{5} = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

Étape 15.2.2

Annulez le facteur commun.

$a_{5} = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

Étape 15.2.3

Réécrivez l’expression.

$a_{5} = \frac{- 4}{3}$

Étape 16

Placez le signe moins devant la fraction.

$a_{5} = - \frac{4}{3}$