Algèbre Exemples

$\sqrt{3 x^{5} + 7}$

Étape 1

Déterminez le domaine pour $\sqrt{3 x^{5} + 7}$ .

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{3 x^{5} + 7}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$3 x^{5} + 7 \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’inégalité.

$3 x^{5} \geq - 7$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x^{5} \geq - 7$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{5} \geq - 7$ par $3$ .

$\frac{3 x^{5}}{3} \geq \frac{- 7}{3}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{5}}{3} \geq \frac{- 7}{3}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $x^{5}$ par $1$ .

$x^{5} \geq \frac{- 7}{3}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{5} \geq - \frac{7}{3}$

Étape 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[5]{x^{5}} \geq \sqrt[5]{- \frac{7}{3}}$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \geq \sqrt[5]{- \frac{7}{3}}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez $\sqrt[5]{- \frac{7}{3}}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Réécrivez $- \frac{7}{3}$ comme ${({(- 1)}^{5})}^{5} \frac{7}{3}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{5}$ .

$x \geq \sqrt[5]{{(- 1)}^{5} \frac{7}{3}}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{5}$ .

$x \geq \sqrt[5]{{({(- 1)}^{5})}^{5} \frac{7}{3}}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \geq {(- 1)}^{5} \sqrt[5]{\frac{7}{3}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$x \geq - \sqrt[5]{\frac{7}{3}}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Réécrivez $\sqrt[5]{\frac{7}{3}}$ comme $\frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{3}}$ .

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{3}}$

Étape 1.2.4.2.1.5

Multipliez $\frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{3}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{3}}^{4}}{{\sqrt[5]{3}}^{4}}$ .

$x \geq - (\frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{3}}^{4}}{{\sqrt[5]{3}}^{4}})$

Étape 1.2.4.2.1.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.4.2.1.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{3}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{3}}^{4}}{{\sqrt[5]{3}}^{4}}$ .

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{3}}^{4}}$

Étape 1.2.4.2.1.6.2

Élevez $\sqrt[5]{3}$ à la puissance $1$ .

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{{\sqrt[5]{3}}^{1} {\sqrt[5]{3}}^{4}}$

Étape 1.2.4.2.1.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{{\sqrt[5]{3}}^{1 + 4}}$

Étape 1.2.4.2.1.6.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{{\sqrt[5]{3}}^{5}}$

Étape 1.2.4.2.1.6.5

Réécrivez ${\sqrt[5]{3}}^{5}$ comme $3$ .

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Étape 1.2.4.2.1.6.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{3}$ comme $3^{\frac{1}{5}}$ .

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{{(3^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Étape 1.2.4.2.1.6.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{3^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Étape 1.2.4.2.1.6.5.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{3^{\frac{5}{5}}}$

Étape 1.2.4.2.1.6.5.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.4.2.1.6.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{3^{\frac{5}{5}}}$

Étape 1.2.4.2.1.6.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{3^{1}}$

Étape 1.2.4.2.1.6.5.5

Évaluez l’exposant.

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{3}$

Étape 1.2.4.2.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.1.7.1

Réécrivez ${\sqrt[5]{3}}^{4}$ comme $\sqrt[5]{3^{4}}$ .

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} \sqrt[5]{3^{4}}}{3}$

Étape 1.2.4.2.1.7.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} \sqrt[5]{81}}{3}$

Étape 1.2.4.2.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.1.8.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7 \cdot 81}}{3}$

Étape 1.2.4.2.1.8.2

Multipliez $7$ par $81$ .

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{567}}{3}$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq - \frac{\sqrt[5]{567}}{3}}$

Notation d’intervalle :

$[- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq - \frac{\sqrt[5]{567}}{3}}$

Étape 2

Pour déterminer le point final de la racine carrée, remplacez la valeur $x$ $- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}$ , qui est la valeur finale dans le domaine, dans $\sqrt{3 x^{5} + 7}$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 {(- \frac{\sqrt[5]{567}}{3})}^{5} + 7}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt[5]{567}}{3})}^{5}) + 7}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[5]{567}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 ({(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt[5]{567}}^{5}}{3^{5}})) + 7}$

Étape 2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (- \frac{{\sqrt[5]{567}}^{5}}{3^{5}}) + 7}$

Étape 2.2.3

Réécrivez ${\sqrt[5]{567}}^{5}$ comme $567$ .

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Étape 2.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{567}$ comme $567^{\frac{1}{5}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (- \frac{{(567^{\frac{1}{5}})}^{5}}{3^{5}}) + 7}$

Étape 2.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (- \frac{567^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{3^{5}}) + 7}$

Étape 2.2.3.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (- \frac{567^{\frac{5}{5}}}{3^{5}}) + 7}$

Étape 2.2.3.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (- \frac{567^{\frac{5}{5}}}{3^{5}}) + 7}$

Étape 2.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (- \frac{567}{3^{5}}) + 7}$

Étape 2.2.3.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (- \frac{567}{3^{5}}) + 7}$

Étape 2.2.4

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (- \frac{567}{243}) + 7}$

Étape 2.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{567}{243}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (\frac{- 567}{243}) + 7}$

Étape 2.2.5.2

Factorisez $3$ à partir de $243$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (\frac{- 567}{3 (81)}) + 7}$

Étape 2.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (\frac{- 567}{3 \cdot 81}) + 7}$

Étape 2.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{\frac{- 567}{81} + 7}$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.6.1

Divisez $- 567$ par $81$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{- 7 + 7}$

Étape 2.2.6.2

Additionnez $- 7$ et $7$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{0}$

Étape 2.2.6.3

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.6.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = 0$

Étape 2.2.7

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 3

Le point final de la racine carrée est $(- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}, 0)$ .

$(- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}, 0)$

Étape 4