Algèbre Exemples

$f (x) = 2 {(x - 4)}^{5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 {(x - 4)}^{5}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{5}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{5}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x - 4$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 4$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x - 4])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$2 (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 4$ .

$2 (5 {(x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$10 ({(x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$10 {(x - 4)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 {(x - 4)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.3.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 {(x - 4)}^{4} (1 + 0)$

Étape 1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$10 {(x - 4)}^{4} \cdot 1$

Étape 1.3.5.2

Multipliez $10$ par $1$ .

$10 {(x - 4)}^{4}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 {(x - 4)}^{4}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{4}]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{4})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x - 4$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 4$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x - 4))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 10 (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x - 4))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 4$ .

$f'' (x) = 10 (4 {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $4$ par $10$ .

$f'' (x) = 40 ({(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4))$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = 40 {(x - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 40 {(x - 4)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))$

Étape 2.3.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 40 {(x - 4)}^{3} (1 + 0)$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 40 {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $40$ par $1$ .

$f'' (x) = 40 {(x - 4)}^{3}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$10 {(x - 4)}^{4} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 {(x - 4)}^{5}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{5}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{5}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x - 4$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 4$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x - 4])$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$2 (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 4$ .

$2 (5 {(x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$10 ({(x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Étape 4.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$10 {(x - 4)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 {(x - 4)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 4.1.3.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 {(x - 4)}^{4} (1 + 0)$

Étape 4.1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$10 {(x - 4)}^{4} \cdot 1$

Étape 4.1.3.5.2

Multipliez $10$ par $1$ .

$f' (x) = 10 {(x - 4)}^{4}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $10 {(x - 4)}^{4}$ .

$10 {(x - 4)}^{4}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $10 {(x - 4)}^{4} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$10 {(x - 4)}^{4} = 0$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $10 {(x - 4)}^{4} = 0$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $10 {(x - 4)}^{4} = 0$ par $10$ .

$\frac{10 {(x - 4)}^{4}}{10} = \frac{0}{10}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 {(x - 4)}^{4}}{10} = \frac{0}{10}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez ${(x - 4)}^{4}$ par $1$ .

${(x - 4)}^{4} = \frac{0}{10}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Divisez $0$ par $10$ .

${(x - 4)}^{4} = 0$

Étape 5.3

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 5.4

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 4$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$40 {((4) - 4)}^{3}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$40 \cdot 0^{3}$

Étape 9.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$40 \cdot 0$

Étape 9.3

Multipliez $40$ par $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, 4)$ dans la dérivée première $10 {(x - 4)}^{4}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 10 {((0) - 4)}^{4}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Soustrayez $4$ de $0$ .

$f' (0) = 10 {(- 4)}^{4}$

Étape 10.2.2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$f' (0) = 10 \cdot 256$

Étape 10.2.2.3

Multipliez $10$ par $256$ .

$f' (0) = 2560$

Étape 10.2.2.4

La réponse finale est $2560$ .

$2560$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée première $10 {(x - 4)}^{4}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = 10 {((6) - 4)}^{4}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Soustrayez $4$ de $6$ .

$f' (6) = 10 \cdot 2^{4}$

Étape 10.3.2.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f' (6) = 10 \cdot 16$

Étape 10.3.2.3

Multipliez $10$ par $16$ .

$f' (6) = 160$

Étape 10.3.2.4

La réponse finale est $160$ .

$160$

Étape 10.4

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 4$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.5

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = 2 {(x - 4)}^{5}$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 11