Algèbre Exemples

$f (x) = | x - a | - b$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $| x - a | - b$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [| x - a |] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$\frac{d}{d x} [| x - a |] + \frac{d}{d x} [- b]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [| x - a |]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = x - a$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - a$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Étape 1.2.1.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - a$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Étape 1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - a$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + \frac{d}{d x} [- b]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + \frac{d}{d x} [- b]$

Étape 1.2.4

Comme $- a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- b]$

Étape 1.2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- b]$

Étape 1.2.6

Multipliez $\frac{x - a}{| x - a |}$ par $1$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} + \frac{d}{d x} [- b]$

Étape 1.3

Comme $- b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- b$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} + 0$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Additionnez $\frac{x - a}{| x - a |}$ et $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |}$

Étape 1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- a + x}{| x - a |}$

Étape 1.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$\frac{- (a) + x}{| x - a |}$

Étape 1.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{- (a) - 1 (- x)}{| x - a |}$

Étape 1.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (a - x)}{| x - a |}$

Étape 1.4.6

Réécrivez $- (a - x)$ comme $- 1 (a - x)$ .

$\frac{- 1 (a - x)}{| x - a |}$

Étape 1.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{a - x}{| x - a |}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{a - x}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{a - x}{| x - a |} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = a - x$ et $g (x) = | x - a |$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | \frac{d}{d x} (a - x) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | (\frac{d}{d x} (a) + \frac{d}{d x} (- x)) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.2

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | (0 + \frac{d}{d x} (- x)) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | \frac{d}{d x} (- x) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | (- \frac{d}{d x} x) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | (- 1 \cdot 1) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | \cdot - 1 - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $| x - a |$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1 \cdot | x - a | - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.6.3

Réécrivez $- 1 | x - a |$ comme $- | x - a |$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = x - a$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - a$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x - a))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.4.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x - a))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - a$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (x - a))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - a$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- a)))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- a)))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.3

Comme $- a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot (1 + 0))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot 1)}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.4.2

Multipliez $\frac{x - a}{| x - a |}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot 0$

Étape 2.5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.6.1

Multipliez $\frac{a - x}{| x - a |}$ par $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}} + 0$

Étape 2.5.6.2

Additionnez $- \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + (- a + x) (\frac{x - a}{| x - a |})}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.2.1.1

Multipliez $- - x$ .

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Étape 2.6.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + (- a + 1 x) (\frac{x - a}{| x - a |})}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + (- a + x) (\frac{x - a}{| x - a |})}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.1.2

Multipliez $- a + x$ par $\frac{x - a}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{(- a + x) (x - a)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.2.1.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{(- a + x) (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.1.3.2

Élevez $- a + x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{(- a + x) (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.1.3.3

Élevez $- a + x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{(- a + x) (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{{(- a + x)}^{1 + 1}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{{(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.2

Pour écrire $- | x - a |$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{| x - a |}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | \cdot \frac{| x - a |}{| x - a |} + \frac{{(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.3

Associez $- | x - a |$ et $\frac{| x - a |}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x - a | | x - a |}{| x - a |} + \frac{{(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x - a | | x - a | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.2.5.1

Multipliez $- | x - a | | x - a |$ .

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Étape 2.6.2.5.1.1

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | (x - a) (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.1.2

Élevez $x - a$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | (x - a) (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.1.3

Élevez $x - a$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | (x - a) (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | {(x - a)}^{1 + 1} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | {(x - a)}^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.2

Réécrivez ${(x - a)}^{2}$ comme $(x - a) (x - a)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | (x - a) (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.3

Développez $(x - a) (x - a)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.6.2.5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x (x - a) - a (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x \cdot x + x (- a) - a (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x \cdot x + x (- a) - a x - a (- a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.6.2.5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.2.5.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} + x (- a) - a x - a (- a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x - a (- a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.4.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.4.1.4

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.2.5.4.1.4.1

Déplacez $a$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.4.1.4.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x - 1 \cdot (- 1 a^{2}) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x + 1 a^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.4.1.6

Multipliez $a^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x + a^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.4.2

Soustrayez $a x$ de $- x a$ .

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Étape 2.6.2.5.4.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - a x - a x + a^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.4.2.2

Soustrayez $a x$ de $- a x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.5

Réécrivez ${(- a + x)}^{2}$ comme $(- a + x) (- a + x)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + (- a + x) (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.6

Développez $(- a + x) (- a + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a (- a + x) + x (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a (- a) - a x + x (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a (- a) - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.6.2.5.7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.5.7.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.7.1.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.5.7.1.2.1

Déplacez $a$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.7.1.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - 1 \cdot (- 1 a^{2}) - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.7.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + 1 a^{2} - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.7.1.4

Multipliez $a^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.7.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - a x - x a + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.7.1.6

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - a x - x a + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.7.2

Soustrayez $x a$ de $- a x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.5.7.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - a x - a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.5.7.2.2

Soustrayez $a x$ de $- a x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - 2 a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- | x^{2} - 2 a x + a^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} |) + a^{2} - 2 a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $a^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} |) - 1 (- a^{2}) - 2 a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} |) - 1 (- a^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2}) - 2 a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 a x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2}) - (2 a x) + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2}) - (2 a x)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x) + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.11

Factorisez $- 1$ à partir de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x) - 1 (- x^{2})}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x) - 1 (- x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2})}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.13

Réécrivez $- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2})$ comme $- 1 (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2})}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Étape 2.6.3

Associez des termes.

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Étape 2.6.3.1

Réécrivez $\frac{- \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$ comme un produit.

$f'' (x) = - (- \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{| x - a |} \cdot \frac{1}{{| x - a |}^{2}})$

Étape 2.6.3.2

Multipliez $\frac{1}{{| x - a |}^{2}}$ par $\frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{2} | x - a |}$

Étape 2.6.3.3

Multipliez ${| x - a |}^{2}$ par $| x - a |$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.3.3.1

Multipliez ${| x - a |}^{2}$ par $| x - a |$ .

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Étape 2.6.3.3.1.1

Élevez $| x - a |$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{2} | x - a |}$

Étape 2.6.3.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{2 + 1}}$

Étape 2.6.3.3.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{3}}$

Étape 2.6.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{3}})$

Étape 2.6.3.5

Multipliez $\frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{3}}$

Étape 2.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{- a^{2} - x^{2} + 2 a x + | x^{2} - 2 a x + a^{2} |}{{| x - a |}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{a - x}{| x - a |} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $| x - a | - b$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [| x - a |] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$\frac{d}{d x} [| x - a |] + \frac{d}{d x} [- b]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [| x - a |]$ .

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Étape 4.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = x - a$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - a$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Étape 4.1.2.1.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Étape 4.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - a$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Étape 4.1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - a$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + \frac{d}{d x} [- b]$

Étape 4.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + \frac{d}{d x} [- b]$

Étape 4.1.2.4

Comme $- a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- b]$

Étape 4.1.2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- b]$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $\frac{x - a}{| x - a |}$ par $1$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} + \frac{d}{d x} [- b]$

Étape 4.1.3

Comme $- b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- b$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} + 0$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Additionnez $\frac{x - a}{| x - a |}$ et $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |}$

Étape 4.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- a + x}{| x - a |}$

Étape 4.1.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$\frac{- (a) + x}{| x - a |}$

Étape 4.1.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{- (a) - 1 (- x)}{| x - a |}$

Étape 4.1.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (a - x)}{| x - a |}$

Étape 4.1.4.6

Réécrivez $- (a - x)$ comme $- 1 (a - x)$ .

$\frac{- 1 (a - x)}{| x - a |}$

Étape 4.1.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{a - x}{| x - a |}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{a - x}{| x - a |}$ .

$- \frac{a - x}{| x - a |}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{a - x}{| x - a |} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{a - x}{| x - a |} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$a - x = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $a$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - a$

Étape 5.3.2

Divisez chaque terme dans $- x = - a$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - a$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- a}{- 1}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- a}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- a}{- 1}$

Étape 5.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{a}{1}$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $a$ par $1$ .

$x = a$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = a$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = a$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{- a^{2} - {(a)}^{2} + 2 a (a) + | {(a)}^{2} - 2 a \cdot a + a^{2} |}{{| (a) - a |}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Soustrayez $a$ de $a$ .

$\frac{- a^{2} - {(a)}^{2} + 2 a (a) + | {(a)}^{2} - 2 a \cdot a + a^{2} |}{{| 0 |}^{3}}$

Étape 9.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$\frac{- a^{2} - {(a)}^{2} + 2 a (a) + | {(a)}^{2} - 2 a \cdot a + a^{2} |}{0^{3}}$

Étape 9.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{- a^{2} - {(a)}^{2} + 2 a (a) + | {(a)}^{2} - 2 a \cdot a + a^{2} |}{0}$

Étape 9.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11