Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} {(x + 5)}^{2} - 9$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x + 5)}^{2}$ comme $(x + 5) (x + 5)$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot ((x + 5) (x + 5)) - 9$

Étape 1.2

Développez $(x + 5) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + 5) + 5 (x + 5)) - 9$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) - 9$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 9$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 9$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) - 9$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) - 9$

Étape 1.3.2

Additionnez $5 x$ et $5 x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 10 x + 25) - 9$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (10 x) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (10 x) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10 x$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (5 x)) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (5 x)) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Étape 1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $25$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25}{2} - 9$

Étape 2

Pour écrire $- 9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3

Associez $- 9$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25 - 9 \cdot 2}{2}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25 - 18}{2}$

Étape 5.2

Soustrayez $18$ de $25$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{7}{2}$

Étape 6

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 7

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 7.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{5}{2 (0.5)}$

Étape 7.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{5}{2 (0.5)}$

Étape 7.3

Simplifiez $- \frac{5}{2 (0.5)}$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $2$ par $0.5$ .

$x = - \frac{5}{1}$

Étape 7.3.2

Divisez $5$ par $1$ .

$x = - 1 \cdot 5$

Étape 7.3.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$x = - 5$

Étape 8

Évaluez $f (- 5)$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{2} + 5 (- 5) + \frac{7}{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Associez les fractions.

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Étape 8.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 5) = 5 (- 5) + \frac{{(- 5)}^{2} + 7}{2}$

Étape 8.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.1.2.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f (- 5) = 5 (- 5) + \frac{25 + 7}{2}$

Étape 8.2.1.2.2

Additionnez $25$ et $7$ .

$f (- 5) = 5 (- 5) + \frac{32}{2}$

Étape 8.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.2.1

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$f (- 5) = - 25 + \frac{32}{2}$

Étape 8.2.2.2

Divisez $32$ par $2$ .

$f (- 5) = - 25 + 16$

Étape 8.2.3

Additionnez $- 25$ et $16$ .

$f (- 5) = - 9$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $- 9$ .

$- 9$

Étape 9

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(- 5, - 9)$

Étape 10