Algèbre Exemples

$\frac{3}{a + 2} + \frac{2}{a} = \frac{4 a - 4}{a^{2} - 4}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{4 a - 4}{a^{2} - 4}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{3}{a + 2} + \frac{2}{a} - \frac{4 a - 4}{a^{2} - 4} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{3}{a + 2} + \frac{2}{a} - \frac{4 a - 4}{a^{2} - 4}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 a - 4$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 a$ .

$\frac{3}{a + 2} + \frac{2}{a} - \frac{4 (a) - 4}{a^{2} - 4} = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{3}{a + 2} + \frac{2}{a} - \frac{4 (a) + 4 (- 1)}{a^{2} - 4} = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (a) + 4 (- 1)$ .

$\frac{3}{a + 2} + \frac{2}{a} - \frac{4 (a - 1)}{a^{2} - 4} = 0$

Étape 2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3}{a + 2} + \frac{2}{a} - \frac{4 (a - 1)}{a^{2} - 2^{2}} = 0$

Étape 2.1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 2$ .

$\frac{3}{a + 2} + \frac{2}{a} - \frac{4 (a - 1)}{(a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{3}{a + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{3}{a + 2} \cdot \frac{a}{a} + \frac{2}{a} - \frac{4 (a - 1)}{(a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $\frac{2}{a}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + 2}{a + 2}$ .

$\frac{3}{a + 2} \cdot \frac{a}{a} + \frac{2}{a} \cdot \frac{a + 2}{a + 2} - \frac{4 (a - 1)}{(a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a + 2) a$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{3}{a + 2}$ par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{3 a}{(a + 2) a} + \frac{2}{a} \cdot \frac{a + 2}{a + 2} - \frac{4 (a - 1)}{(a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{2}{a}$ par $\frac{a + 2}{a + 2}$ .

$\frac{3 a}{(a + 2) a} + \frac{2 (a + 2)}{a (a + 2)} - \frac{4 (a - 1)}{(a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(a + 2) a$ .

$\frac{3 a}{a (a + 2)} + \frac{2 (a + 2)}{a (a + 2)} - \frac{4 (a - 1)}{(a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 a + 2 (a + 2)}{a (a + 2)} - \frac{4 (a - 1)}{(a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 a + 2 a + 2 \cdot 2}{a (a + 2)} - \frac{4 (a - 1)}{(a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 a + 2 a + 4}{a (a + 2)} - \frac{4 (a - 1)}{(a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.6.3

Additionnez $3 a$ et $2 a$ .

$\frac{5 a + 4}{a (a + 2)} - \frac{4 (a - 1)}{(a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.7

Pour écrire $\frac{5 a + 4}{a (a + 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a - 2}{a - 2}$ .

$\frac{5 a + 4}{a (a + 2)} \cdot \frac{a - 2}{a - 2} - \frac{4 (a - 1)}{(a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.8

Pour écrire $- \frac{4 (a - 1)}{(a + 2) (a - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{5 a + 4}{a (a + 2)} \cdot \frac{a - 2}{a - 2} - \frac{4 (a - 1)}{(a + 2) (a - 2)} \cdot \frac{a}{a} = 0$

Étape 2.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $a (a + 2) (a - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.9.1

Multipliez $\frac{5 a + 4}{a (a + 2)}$ par $\frac{a - 2}{a - 2}$ .

$\frac{(5 a + 4) (a - 2)}{a (a + 2) (a - 2)} - \frac{4 (a - 1)}{(a + 2) (a - 2)} \cdot \frac{a}{a} = 0$

Étape 2.9.2

Multipliez $\frac{4 (a - 1)}{(a + 2) (a - 2)}$ par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(5 a + 4) (a - 2)}{a (a + 2) (a - 2)} - \frac{4 (a - 1) a}{(a + 2) (a - 2) a} = 0$

Étape 2.9.3

Réorganisez les facteurs de $(a + 2) (a - 2) a$ .

$\frac{(5 a + 4) (a - 2)}{a (a + 2) (a - 2)} - \frac{4 (a - 1) a}{a (a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(5 a + 4) (a - 2) - 4 (a - 1) a}{a (a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.11.1

Développez $(5 a + 4) (a - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.11.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 a (a - 2) + 4 (a - 2) - 4 (a - 1) a}{a (a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.11.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 a \cdot a + 5 a \cdot - 2 + 4 (a - 2) - 4 (a - 1) a}{a (a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.11.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 a \cdot a + 5 a \cdot - 2 + 4 a + 4 \cdot - 2 - 4 (a - 1) a}{a (a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.11.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.2.1.1

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.11.2.1.1.1

Déplacez $a$ .

$\frac{5 (a \cdot a) + 5 a \cdot - 2 + 4 a + 4 \cdot - 2 - 4 (a - 1) a}{a (a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.11.2.1.1.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{5 a^{2} + 5 a \cdot - 2 + 4 a + 4 \cdot - 2 - 4 (a - 1) a}{a (a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.11.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{5 a^{2} - 10 a + 4 a + 4 \cdot - 2 - 4 (a - 1) a}{a (a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.11.2.1.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{5 a^{2} - 10 a + 4 a - 8 - 4 (a - 1) a}{a (a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.11.2.2

Additionnez $- 10 a$ et $4 a$ .

$\frac{5 a^{2} - 6 a - 8 - 4 (a - 1) a}{a (a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 a^{2} - 6 a - 8 + (- 4 a - 4 \cdot - 1) a}{a (a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.11.4

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{5 a^{2} - 6 a - 8 + (- 4 a + 4) a}{a (a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.11.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 a^{2} - 6 a - 8 - 4 a \cdot a + 4 a}{a (a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.11.6

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.11.6.1

Déplacez $a$ .

$\frac{5 a^{2} - 6 a - 8 - 4 (a \cdot a) + 4 a}{a (a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.11.6.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{5 a^{2} - 6 a - 8 - 4 a^{2} + 4 a}{a (a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.11.7

Soustrayez $4 a^{2}$ de $5 a^{2}$ .

$\frac{a^{2} - 6 a - 8 + 4 a}{a (a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.11.8

Additionnez $- 6 a$ et $4 a$ .

$\frac{a^{2} - 2 a - 8}{a (a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.11.9

Factorisez $a^{2} - 2 a - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.11.9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 4, 2$

Étape 2.11.9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(a - 4) (a + 2)}{a (a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.12

Annulez le facteur commun de $a + 2$ .

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Étape 2.12.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 4) (a + 2)}{a (a + 2) (a - 2)} = 0$

Étape 2.12.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - 4}{a (a - 2)} = 0$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{a - 4}{a (a - 2)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$a (a - 2) = 0$

Étape 4

Résolvez $a$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$a = 0$

$a - 2 = 0$

Étape 4.2

Définissez $a$ égal à $0$ .

$a = 0$

Étape 4.3

Définissez $a - 2$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $a - 2$ égal à $0$ .

$a - 2 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$a = 2$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $a (a - 2) = 0$ vraie.

$a = 0, 2$

Étape 5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$a = 0, a = 2$

Étape 6