Algèbre Exemples

$\frac{k}{x^{n}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Comme $k$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $\frac{k}{x^{n}}$ par rapport à $n$ est $k \frac{d}{d n} [\frac{1}{x^{n}}]$ .

$k \frac{d}{d n} [\frac{1}{x^{n}}]$

Étape 1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{n}}$ comme ${(x^{n})}^{- 1}$ .

$k \frac{d}{d n} [{(x^{n})}^{- 1}]$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{n})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k \frac{d}{d n} [x^{n \cdot - 1}]$

Étape 1.2.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $n$ .

$k \frac{d}{d n} [x^{- 1 \cdot n}]$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $- 1 n$ comme $- n$ .

$k \frac{d}{d n} [x^{- n}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d n} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = x$ et $g = - n$ .

$k (\frac{d}{d n} [x] (- n x^{- n - 1}) + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $x$ par rapport à $n$ est $0$ .

$k (0 (- n x^{- n - 1}) + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Étape 3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$k (0 (n x^{- n - 1}) + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Étape 3.2.2

Multipliez $n$ par $0$ .

$k (0 x^{- n - 1} + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Étape 3.2.3

Multipliez $0$ par $x^{- n - 1}$ .

$k (0 + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Étape 3.2.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x))$ .

$k (\frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Étape 3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $- n$ par rapport à $n$ est $- \frac{d}{d n} [n]$ .

$k (- \frac{d}{d n} [n]) (x^{- n} \ln (x))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$k (- 1 \cdot 1) (x^{- n} \ln (x))$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$k \cdot - 1 (x^{- n} \ln (x))$

Étape 3.5.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $k$ .

$- 1 \cdot k (x^{- n} \ln (x))$

Étape 3.5.3

Réécrivez $- 1 k$ comme $- k$ .

$- k (x^{- n} \ln (x))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réorganisez les facteurs de $- k x^{- n} \ln (x)$ .

$- x^{- n} k \ln (x)$

Étape 4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- x^{- n} k \ln (x)$ .

$- k x^{- n} \ln (x)$