Algèbre Exemples

$y = \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = e^{- x} + x e^{- x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $e^{- x} + x e^{- x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $e^{- x} + x e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{- x} + x e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Étape 4.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Étape 4.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

Différenciez.

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Étape 7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

Étape 7.5

Simplifiez les termes.

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Étape 7.5.1

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x})$

Étape 7.5.2

Additionnez $- e^{- x}$ et $e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (x (- e^{- x}) + 0)$

Étape 7.5.3

Additionnez $x (- e^{- x})$ et $0$ .

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (x (- e^{- x}))$

Étape 7.5.4

Associez $x$ et $\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}}$ .

$\frac{x}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x})$

Étape 7.5.5

Associez $\frac{x}{e^{- x} + x e^{- x}}$ et $e^{- x}$ .

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} + x e^{- x}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} + x e^{- x}$ .

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Étape 8.1.1

Multipliez par $1$ .

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} \cdot 1 + x e^{- x}}$

Étape 8.1.2

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $x e^{- x}$ .

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x}$

Étape 8.1.3

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x$ .

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x)}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x)}$

Étape 8.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x}{1 + x}$