Algèbre Exemples

$4 y {(8 y + 24)}^{- 1}$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 y {(8 y + 24)}^{- 1}$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [y {(8 y + 24)}^{- 1}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [y {(8 y + 24)}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = {(8 y + 24)}^{- 1}$ .

$4 (y \frac{d}{d y} [{(8 y + 24)}^{- 1}] + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{- 1}$ et $g (y) = 8 y + 24$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 y + 24$ .

$4 (y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [8 y + 24]) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 (y (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [8 y + 24]) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 y + 24$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} \frac{d}{d y} [8 y + 24]) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 y + 24$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [24]$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (\frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [24])) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 4.2

Comme $8$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $8 y$ par rapport à $y$ est $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (8 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [24])) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [24])) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 4.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (8 + \frac{d}{d y} [24])) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 4.5

Comme $24$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $24$ par rapport à $y$ est $0$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (8 + 0)) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Additionnez $8$ et $0$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} \cdot 8) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 4.6.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$4 (y (- 8 {(8 y + 24)}^{- 2}) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (y (- 8 {(8 y + 24)}^{- 2}) + {(8 y + 24)}^{- 1} \cdot 1)$

Étape 4.8

Multipliez ${(8 y + 24)}^{- 1}$ par $1$ .

$4 (y (- 8 {(8 y + 24)}^{- 2}) + {(8 y + 24)}^{- 1})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (y (- 8 {(8 y + 24)}^{- 2})) + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Étape 5.2

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$- 32 y {(8 y + 24)}^{- 2} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Étape 5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 32 y \frac{1}{{(8 y + 24)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8 y + 24$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 y$ .

$- 32 y \frac{1}{{(8 (y) + 24)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Étape 5.3.2.1.2

Factorisez $8$ à partir de $24$ .

$- 32 y \frac{1}{{(8 y + 8 \cdot 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Étape 5.3.2.1.3

Factorisez $8$ à partir de $8 y + 8 \cdot 3$ .

$- 32 y \frac{1}{{(8 (y + 3))}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de produit à $8 (y + 3)$ .

$- 32 y \frac{1}{8^{2} {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Étape 5.3.2.3

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$- 32 y \frac{1}{64 {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $32$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $32$ à partir de $- 32 y$ .

$32 (- y) \frac{1}{64 {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $32$ à partir de $64 {(y + 3)}^{2}$ .

$32 (- y) \frac{1}{32 (2 {(y + 3)}^{2})} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun.

$32 (- y) \frac{1}{32 (2 {(y + 3)}^{2})} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Étape 5.3.3.4

Réécrivez l’expression.

$- y \frac{1}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Étape 5.3.4

Associez $\frac{1}{2 {(y + 3)}^{2}}$ et $y$ .

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Étape 5.3.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{8 y + 24}$

Étape 5.3.6

Factorisez $8$ à partir de $8 y + 24$ .

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $8$ à partir de $8 y$ .

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{8 (y) + 24}$

Étape 5.3.6.2

Factorisez $8$ à partir de $24$ .

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{8 y + 8 \cdot 3}$

Étape 5.3.6.3

Factorisez $8$ à partir de $8 y + 8 \cdot 3$ .

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{8 (y + 3)}$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8 (y + 3)$ .

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{4 (2 (y + 3))}$

Étape 5.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{4 (2 (y + 3))}$

Étape 5.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + \frac{1}{2 (y + 3)}$