Algèbre Exemples

$y = - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4}$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4}$

Étape 1.1.2

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = - \frac{1}{4}$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Étape 1.2.3.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.2.3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Étape 1.2.3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.3.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{1}{2} (1 \cdot 2)$

Étape 1.2.3.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $1 \cdot 2$ .

$d = \frac{1}{2} (2 \cdot 1)$

Étape 1.2.3.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{1}{2} (2 \cdot 1)$

Étape 1.2.3.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{1}{4} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{1}{4} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{1}{4} - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = - \frac{1}{4} - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{1}{4} - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.6

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$e = - \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{- 4}{4}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $- 4$ par $4$ .

$e = - \frac{1}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{- 1}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{1}{4}}{- 1}$ .

$e = - \frac{1}{4} - (- 1 \cdot \frac{1}{4})$

Étape 1.2.4.2.1.5

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{1}{4}$ comme $- \frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{1}{4} - - \frac{1}{4}$

Étape 1.2.4.2.1.6

Multipliez $- - \frac{1}{4}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = - \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

Étape 1.2.4.2.1.6.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$e = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 1 + 1}{4}$

Étape 1.2.4.2.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$e = \frac{0}{4}$

Étape 1.2.4.2.4

Divisez $0$ par $4$ .

$e = 0$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{4} {(x + 1)}^{2} + 0$ .

$- \frac{1}{4} {(x + 1)}^{2} + 0$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x + 1)}^{2} + 0$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = - 1$

$k = 0$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 1, 0)$

Étape 4

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 4.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Étape 4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 4.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Étape 4.3.3

Divisez $4$ par $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{1}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1$

Étape 4.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 5

Déterminez la directrice.

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Étape 5.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = 1$

Étape 6