Algèbre Exemples

$\frac{2 x^{3} + 28000}{x}$

Étape 1

Écrivez $\frac{2 x^{3} + 28000}{x}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{2 x^{3} + 28000}{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x^{3} + 28000$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 28000] - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 28000$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{x (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2.5

Comme $28000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $28000$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (6 x^{2} + 0) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2.6

Additionnez $6 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x (6 x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 x^{1 + 2} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000)}{x^{2}}$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3}) - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Étape 2.8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Étape 2.8.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $28000$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Étape 2.8.2.2

Soustrayez $2 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Étape 2.8.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} - 28000$ .

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Étape 2.8.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3}) - 28000}{x^{2}}$

Étape 2.8.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 28000$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 7000}{x^{2}}$

Étape 2.8.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} + 4 \cdot - 7000$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} - 7000}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3} - 7000}{x^{2}})$

Étape 3.2

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}})$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}})$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 7000$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7000]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 7000)) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 7000)) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Étape 3.3.4

Comme $- 7000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7000$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Étape 3.3.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2}) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Étape 3.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} x^{2} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Étape 3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2 + 2} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Étape 3.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Étape 3.5

Déplacez $3$ à gauche de $x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot x^{4} - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{4} - (x^{3} - 7000) (2 x)}{x^{4}})$

Étape 3.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{4} - 2 (x^{3} - 7000) x}{x^{4}})$

Étape 3.7.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{4} - 2 (x^{3} - 7000) x$ .

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Étape 3.7.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3}) - 2 (x^{3} - 7000) x}{x^{4}})$

Étape 3.7.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 (x^{3} - 7000) x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 7000))}{x^{4}})$

Étape 3.7.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 7000))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x^{4}})$

Étape 3.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x \cdot x^{3}})$

Étape 3.8.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x \cdot x^{3}})$

Étape 3.8.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000)}{x^{3}})$

Étape 3.9

Associez $4$ et $\frac{3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000)}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x^{3}}$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Étape 3.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3}) + 4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Étape 3.10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.10.3.1.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} + 4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Étape 3.10.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Étape 3.10.3.1.3

Multipliez $4 (- 2 \cdot - 7000)$ .

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Étape 3.10.3.1.3.1

Multipliez $- 2$ par $- 7000$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 4 \cdot 14000}{x^{3}}$

Étape 3.10.3.1.3.2

Multipliez $4$ par $14000$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 56000}{x^{3}}$

Étape 3.10.3.2

Soustrayez $8 x^{3}$ de $12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} + 56000}{x^{3}}$

Étape 3.10.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} + 56000$ .

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Étape 3.10.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3}) + 56000}{x^{3}}$

Étape 3.10.4.2

Factorisez $4$ à partir de $56000$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} + 4 \cdot 14000}{x^{3}}$

Étape 3.10.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} + 4 \cdot 14000$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} + 14000)}{x^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 28000] - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 28000$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{x (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.2.5

Comme $28000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $28000$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (6 x^{2} + 0) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.2.6

Additionnez $6 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x (6 x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 x^{1 + 2} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.1.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 5.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000)}{x^{2}}$

Étape 5.1.8

Simplifiez

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Étape 5.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3}) - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Étape 5.1.8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.8.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Étape 5.1.8.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $28000$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Étape 5.1.8.2.2

Soustrayez $2 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Étape 5.1.8.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} - 28000$ .

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Étape 5.1.8.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3}) - 28000}{x^{2}}$

Étape 5.1.8.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 28000$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 7000}{x^{2}}$

Étape 5.1.8.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} + 4 \cdot - 7000$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 (x^{3} - 7000) = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $4 (x^{3} - 7000) = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1.1

Divisez chaque terme dans $4 (x^{3} - 7000) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 6.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 6.3.1.2.1.2

Divisez $x^{3} - 7000$ par $1$ .

$x^{3} - 7000 = \frac{0}{4}$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x^{3} - 7000 = 0$

Étape 6.3.2

Ajoutez $7000$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} = 7000$

Étape 6.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{7000}$

Étape 6.3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{7000}$ .

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Étape 6.3.4.1

Réécrivez $7000$ comme $10^{3} \cdot 7$ .

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Étape 6.3.4.1.1

Factorisez $1000$ à partir de $7000$ .

$x = \sqrt[3]{1000 (7)}$

Étape 6.3.4.1.2

Réécrivez $1000$ comme $10^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{10^{3} \cdot 7}$

Étape 6.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = 10 \sqrt[3]{7}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 7.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 7.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 7.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 10 \sqrt[3]{7}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 10 \sqrt[3]{7}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Appliquez la règle de produit à $10 \sqrt[3]{7}$ .

$\frac{4 (10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Étape 10.1.2

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$\frac{4 (1000 {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Étape 10.1.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ comme $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{7}$ comme $7^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 (1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Étape 10.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Étape 10.1.3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Étape 10.1.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Étape 10.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{1} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Étape 10.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{4 (1000 \cdot 7 + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Étape 10.1.4

Multipliez $1000$ par $7$ .

$\frac{4 (7000 + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Étape 10.1.5

Additionnez $7000$ et $14000$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Appliquez la règle de produit à $10 \sqrt[3]{7}$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Étape 10.2.2

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 {\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Étape 10.2.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ comme $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{7}$ comme $7^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 10.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 10.2.3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}$

Étape 10.2.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}$

Étape 10.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{1}}$

Étape 10.2.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7}$

Étape 10.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.3.1

Multipliez $4$ par $21000$ .

$\frac{84000}{1000 \cdot 7}$

Étape 10.3.2

Multipliez $1000$ par $7$ .

$\frac{84000}{7000}$

Étape 10.3.3

Divisez $84000$ par $7000$ .

$12$

Étape 11

$x = 10 \sqrt[3]{7}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 10 \sqrt[3]{7}$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 10 \sqrt[3]{7}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $10 \sqrt[3]{7}$ dans l’expression.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 28000}{10 \sqrt[3]{7}}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Annulez le facteur commun à $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 28000$ et $10$ .

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Étape 12.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3}) + 28000}{10 \sqrt[3]{7}}$

Étape 12.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $28000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 2 \cdot 14000}{10 \sqrt[3]{7}}$

Étape 12.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 2 \cdot 14000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{10 \sqrt[3]{7}}$

Étape 12.2.1.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $10 \sqrt[3]{7}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{2 (5 \sqrt[3]{7})}$

Étape 12.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{2 (5 \sqrt[3]{7})}$

Étape 12.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Étape 12.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $10 \sqrt[3]{7}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Étape 12.2.2.2

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Étape 12.2.2.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ comme $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{7}$ comme $7^{\frac{1}{3}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Étape 12.2.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Étape 12.2.2.3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Étape 12.2.2.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Étape 12.2.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Étape 12.2.2.3.5

Évaluez l’exposant.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Étape 12.2.2.4

Multipliez $1000$ par $7$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7000 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Étape 12.2.2.5

Additionnez $7000$ et $14000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{21000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Étape 12.2.3

Annulez le facteur commun à $21000$ et $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.3.1

Factorisez $5$ à partir de $21000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 \sqrt[3]{7}}$

Étape 12.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \sqrt[3]{7}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 (\sqrt[3]{7})}$

Étape 12.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 \sqrt[3]{7}}$

Étape 12.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$

Étape 12.2.4

Multipliez $\frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200}{\sqrt[3]{7}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Étape 12.2.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.5.1

Multipliez $\frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Étape 12.2.5.2

Élevez $\sqrt[3]{7}$ à la puissance $1$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Étape 12.2.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{1 + 2}}$

Étape 12.2.5.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Étape 12.2.5.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ comme $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.5.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{7}$ comme $7^{\frac{1}{3}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{(7^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 12.2.5.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 12.2.5.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

Étape 12.2.5.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.5.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

Étape 12.2.5.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7}$

Étape 12.2.5.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7}$

Étape 12.2.6

Annulez le facteur commun à $4200$ et $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.6.1

Factorisez $7$ à partir de $4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7}$

Étape 12.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.6.2.1

Factorisez $7$ à partir de $7$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7 (1)}$

Étape 12.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7 \cdot 1}$

Étape 12.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{600 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{1}$

Étape 12.2.6.2.4

Divisez $600 {\sqrt[3]{7}}^{2}$ par $1$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 {\sqrt[3]{7}}^{2}$

Étape 12.2.7

Réécrivez ${\sqrt[3]{7}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{7^{2}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 \sqrt[3]{7^{2}}$

Étape 12.2.8

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 \sqrt[3]{49}$

Étape 12.2.9

La réponse finale est $600 \sqrt[3]{49}$ .

$y = 600 \sqrt[3]{49}$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{2 x^{3} + 28000}{x}$ .

$(10 \sqrt[3]{7}, 600 \sqrt[3]{49})$ est un minimum local

Étape 14