Algèbre Exemples

$y = - 3 x^{2} - 2 x - 5$

Étape 1

Le maximum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est négatif, la valeur maximale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{- 2}{2 (- 3)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{- 2}{2 (- 3)}$

Étape 2.3

Simplifiez $- \frac{- 2}{2 (- 3)}$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 3$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 (- 3)}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{- 1}{- 3}$

Étape 2.3.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 3

Évaluez $f (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{3}) = - 3 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 2 (- \frac{1}{3}) - 5$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) - 2 (- \frac{1}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}})) - 2 (- \frac{1}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - 3 (1 (\frac{1^{2}}{3^{2}})) - 2 (- \frac{1}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - 3 \frac{1^{2}}{3^{2}} - 2 (- \frac{1}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1}{3}) = - 3 \frac{1}{3^{2}} - 2 (- \frac{1}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - 3 (\frac{1}{9}) - 2 (- \frac{1}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (- 1) (\frac{1}{9}) - 2 (- \frac{1}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.6.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{1}{3 \cdot 3}) - 2 (- \frac{1}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{1}{3 \cdot 3}) - 2 (- \frac{1}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1}{3}) = - 1 (\frac{1}{3}) - 2 (- \frac{1}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.7

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{3})$ comme $- (\frac{1}{3})$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - (\frac{1}{3}) - 2 (- \frac{1}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.8

Multipliez $- 2 (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 3.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 5$

Étape 3.2.1.8.2

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 5$

Étape 3.2.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{3}) = - 5 + \frac{- 1 + 2}{3}$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - 5 + \frac{1}{3}$

Étape 3.2.3

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - 5 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 3.2.4

Associez $- 5$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 5 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 5 \cdot 3 + 1}{3}$

Étape 3.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.6.1

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 15 + 1}{3}$

Étape 3.2.6.2

Additionnez $- 15$ et $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 14}{3}$

Étape 3.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{14}{3}$

Étape 3.2.8

La réponse finale est $- \frac{14}{3}$ .

$- \frac{14}{3}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le maximum.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{14}{3})$

Étape 5