Algèbre Exemples

$f (x) = {(x + 5)}^{3} (x - 9) (x + 1)$

Étape 1

Simplifiez et remettez le polynôme dans l’ordre.

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Étape 1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$(x^{3} + 3 x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}) (x - 9) (x + 1)$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$(x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}) (x - 9) (x + 1)$

Étape 1.2.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$(x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + 5^{3}) (x - 9) (x + 1)$

Étape 1.2.3

Multipliez $25$ par $3$ .

$(x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 5^{3}) (x - 9) (x + 1)$

Étape 1.2.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$(x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125) (x - 9) (x + 1)$

Étape 1.3

Développez $(x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125) (x - 9)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$(x^{3} x + x^{3} \cdot - 9 + 15 x^{2} x + 15 x^{2} \cdot - 9 + 75 x \cdot x + 75 x \cdot - 9 + 125 x + 125 \cdot - 9) (x + 1)$

Étape 1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1.1.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 1.4.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot - 9 + 15 x^{2} x + 15 x^{2} \cdot - 9 + 75 x \cdot x + 75 x \cdot - 9 + 125 x + 125 \cdot - 9) (x + 1)$

Étape 1.4.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 9 + 15 x^{2} x + 15 x^{2} \cdot - 9 + 75 x \cdot x + 75 x \cdot - 9 + 125 x + 125 \cdot - 9) (x + 1)$

Étape 1.4.1.1.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$(x^{4} + x^{3} \cdot - 9 + 15 x^{2} x + 15 x^{2} \cdot - 9 + 75 x \cdot x + 75 x \cdot - 9 + 125 x + 125 \cdot - 9) (x + 1)$

Étape 1.4.1.2

Déplacez $- 9$ à gauche de $x^{3}$ .

$(x^{4} - 9 \cdot x^{3} + 15 x^{2} x + 15 x^{2} \cdot - 9 + 75 x \cdot x + 75 x \cdot - 9 + 125 x + 125 \cdot - 9) (x + 1)$

Étape 1.4.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1.3.1

Déplacez $x$ .

$(x^{4} - 9 x^{3} + 15 (x \cdot x^{2}) + 15 x^{2} \cdot - 9 + 75 x \cdot x + 75 x \cdot - 9 + 125 x + 125 \cdot - 9) (x + 1)$

Étape 1.4.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.4.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x^{4} - 9 x^{3} + 15 (x^{1} x^{2}) + 15 x^{2} \cdot - 9 + 75 x \cdot x + 75 x \cdot - 9 + 125 x + 125 \cdot - 9) (x + 1)$

Étape 1.4.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x^{4} - 9 x^{3} + 15 x^{1 + 2} + 15 x^{2} \cdot - 9 + 75 x \cdot x + 75 x \cdot - 9 + 125 x + 125 \cdot - 9) (x + 1)$

Étape 1.4.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$(x^{4} - 9 x^{3} + 15 x^{3} + 15 x^{2} \cdot - 9 + 75 x \cdot x + 75 x \cdot - 9 + 125 x + 125 \cdot - 9) (x + 1)$

Étape 1.4.1.4

Multipliez $- 9$ par $15$ .

$(x^{4} - 9 x^{3} + 15 x^{3} - 135 x^{2} + 75 x \cdot x + 75 x \cdot - 9 + 125 x + 125 \cdot - 9) (x + 1)$

Étape 1.4.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1.5.1

Déplacez $x$ .

$(x^{4} - 9 x^{3} + 15 x^{3} - 135 x^{2} + 75 (x \cdot x) + 75 x \cdot - 9 + 125 x + 125 \cdot - 9) (x + 1)$

Étape 1.4.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{4} - 9 x^{3} + 15 x^{3} - 135 x^{2} + 75 x^{2} + 75 x \cdot - 9 + 125 x + 125 \cdot - 9) (x + 1)$

Étape 1.4.1.6

Multipliez $- 9$ par $75$ .

$(x^{4} - 9 x^{3} + 15 x^{3} - 135 x^{2} + 75 x^{2} - 675 x + 125 x + 125 \cdot - 9) (x + 1)$

Étape 1.4.1.7

Multipliez $125$ par $- 9$ .

$(x^{4} - 9 x^{3} + 15 x^{3} - 135 x^{2} + 75 x^{2} - 675 x + 125 x - 1125) (x + 1)$

Étape 1.4.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.4.2.1

Additionnez $- 9 x^{3}$ et $15 x^{3}$ .

$(x^{4} + 6 x^{3} - 135 x^{2} + 75 x^{2} - 675 x + 125 x - 1125) (x + 1)$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $- 135 x^{2}$ et $75 x^{2}$ .

$(x^{4} + 6 x^{3} - 60 x^{2} - 675 x + 125 x - 1125) (x + 1)$

Étape 1.4.2.3

Additionnez $- 675 x$ et $125 x$ .

$(x^{4} + 6 x^{3} - 60 x^{2} - 550 x - 1125) (x + 1)$

Étape 1.5

Développez $(x^{4} + 6 x^{3} - 60 x^{2} - 550 x - 1125) (x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{4} x + x^{4} \cdot 1 + 6 x^{3} x + 6 x^{3} \cdot 1 - 60 x^{2} x - 60 x^{2} \cdot 1 - 550 x \cdot x - 550 x \cdot 1 - 1125 x - 1125 \cdot 1$

Étape 1.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 1.6.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} x^{1} + x^{4} \cdot 1 + 6 x^{3} x + 6 x^{3} \cdot 1 - 60 x^{2} x - 60 x^{2} \cdot 1 - 550 x \cdot x - 550 x \cdot 1 - 1125 x - 1125 \cdot 1$

Étape 1.6.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4 + 1} + x^{4} \cdot 1 + 6 x^{3} x + 6 x^{3} \cdot 1 - 60 x^{2} x - 60 x^{2} \cdot 1 - 550 x \cdot x - 550 x \cdot 1 - 1125 x - 1125 \cdot 1$

Étape 1.6.1.1.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$x^{5} + x^{4} \cdot 1 + 6 x^{3} x + 6 x^{3} \cdot 1 - 60 x^{2} x - 60 x^{2} \cdot 1 - 550 x \cdot x - 550 x \cdot 1 - 1125 x - 1125 \cdot 1$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{5} + x^{4} + 6 x^{3} x + 6 x^{3} \cdot 1 - 60 x^{2} x - 60 x^{2} \cdot 1 - 550 x \cdot x - 550 x \cdot 1 - 1125 x - 1125 \cdot 1$

Étape 1.6.1.3

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1.3.1

Déplacez $x$ .

$x^{5} + x^{4} + 6 (x \cdot x^{3}) + 6 x^{3} \cdot 1 - 60 x^{2} x - 60 x^{2} \cdot 1 - 550 x \cdot x - 550 x \cdot 1 - 1125 x - 1125 \cdot 1$

Étape 1.6.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.6.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} + x^{4} + 6 (x^{1} x^{3}) + 6 x^{3} \cdot 1 - 60 x^{2} x - 60 x^{2} \cdot 1 - 550 x \cdot x - 550 x \cdot 1 - 1125 x - 1125 \cdot 1$

Étape 1.6.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} + x^{4} + 6 x^{1 + 3} + 6 x^{3} \cdot 1 - 60 x^{2} x - 60 x^{2} \cdot 1 - 550 x \cdot x - 550 x \cdot 1 - 1125 x - 1125 \cdot 1$

Étape 1.6.1.3.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$x^{5} + x^{4} + 6 x^{4} + 6 x^{3} \cdot 1 - 60 x^{2} x - 60 x^{2} \cdot 1 - 550 x \cdot x - 550 x \cdot 1 - 1125 x - 1125 \cdot 1$

Étape 1.6.1.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$x^{5} + x^{4} + 6 x^{4} + 6 x^{3} - 60 x^{2} x - 60 x^{2} \cdot 1 - 550 x \cdot x - 550 x \cdot 1 - 1125 x - 1125 \cdot 1$

Étape 1.6.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1.5.1

Déplacez $x$ .

$x^{5} + x^{4} + 6 x^{4} + 6 x^{3} - 60 (x \cdot x^{2}) - 60 x^{2} \cdot 1 - 550 x \cdot x - 550 x \cdot 1 - 1125 x - 1125 \cdot 1$

Étape 1.6.1.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.6.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} + x^{4} + 6 x^{4} + 6 x^{3} - 60 (x^{1} x^{2}) - 60 x^{2} \cdot 1 - 550 x \cdot x - 550 x \cdot 1 - 1125 x - 1125 \cdot 1$

Étape 1.6.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} + x^{4} + 6 x^{4} + 6 x^{3} - 60 x^{1 + 2} - 60 x^{2} \cdot 1 - 550 x \cdot x - 550 x \cdot 1 - 1125 x - 1125 \cdot 1$

Étape 1.6.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{5} + x^{4} + 6 x^{4} + 6 x^{3} - 60 x^{3} - 60 x^{2} \cdot 1 - 550 x \cdot x - 550 x \cdot 1 - 1125 x - 1125 \cdot 1$

Étape 1.6.1.6

Multipliez $- 60$ par $1$ .

$x^{5} + x^{4} + 6 x^{4} + 6 x^{3} - 60 x^{3} - 60 x^{2} - 550 x \cdot x - 550 x \cdot 1 - 1125 x - 1125 \cdot 1$

Étape 1.6.1.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1.7.1

Déplacez $x$ .

$x^{5} + x^{4} + 6 x^{4} + 6 x^{3} - 60 x^{3} - 60 x^{2} - 550 (x \cdot x) - 550 x \cdot 1 - 1125 x - 1125 \cdot 1$

Étape 1.6.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{5} + x^{4} + 6 x^{4} + 6 x^{3} - 60 x^{3} - 60 x^{2} - 550 x^{2} - 550 x \cdot 1 - 1125 x - 1125 \cdot 1$

Étape 1.6.1.8

Multipliez $- 550$ par $1$ .

$x^{5} + x^{4} + 6 x^{4} + 6 x^{3} - 60 x^{3} - 60 x^{2} - 550 x^{2} - 550 x - 1125 x - 1125 \cdot 1$

Étape 1.6.1.9

Multipliez $- 1125$ par $1$ .

$x^{5} + x^{4} + 6 x^{4} + 6 x^{3} - 60 x^{3} - 60 x^{2} - 550 x^{2} - 550 x - 1125 x - 1125$

Étape 1.6.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.6.2.1

Additionnez $x^{4}$ et $6 x^{4}$ .

$x^{5} + 7 x^{4} + 6 x^{3} - 60 x^{3} - 60 x^{2} - 550 x^{2} - 550 x - 1125 x - 1125$

Étape 1.6.2.2

Soustrayez $60 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$x^{5} + 7 x^{4} - 54 x^{3} - 60 x^{2} - 550 x^{2} - 550 x - 1125 x - 1125$

Étape 1.6.2.3

Soustrayez $550 x^{2}$ de $- 60 x^{2}$ .

$x^{5} + 7 x^{4} - 54 x^{3} - 610 x^{2} - 550 x - 1125 x - 1125$

Étape 1.6.2.4

Soustrayez $1125 x$ de $- 550 x$ .

$x^{5} + 7 x^{4} - 54 x^{3} - 610 x^{2} - 1675 x - 1125$

Étape 2

Le plus grand exposant est le degré d’un polynôme.

$5$