Algèbre Exemples

$y = - \frac{2}{3} {(4)}^{x + 3} - 4$

Étape 1

La fonction parent est la forme la plus simple du type de fonction donné.

$y = {(4)}^{x}$

Étape 2

Résolvez $y = {(4)}^{x}$ pour $y$ .

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Étape 2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 4^{x}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = {(4)}^{x}$

Étape 2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 4^{x}$

Étape 3

Résolvez $y = - \frac{2}{3} \cdot {(4)}^{x + 3} - 4$ pour $y$ .

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Étape 3.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{2}{3} \cdot 4^{x + 3} - 4$

Étape 3.2

Simplifiez $- \frac{2}{3} \cdot 4^{x + 3} - 4$ .

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Étape 3.2.1

Multipliez $- \frac{2}{3} \cdot 4^{x + 3}$ .

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Étape 3.2.1.1

Associez $4^{x + 3}$ et $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{4^{x + 3} \cdot 2}{3} - 4$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = - \frac{{(2^{2})}^{x + 3} \cdot 2}{3} - 4$

Étape 3.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{x + 3}$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{2^{2 (x + 3)} \cdot 2}{3} - 4$

Étape 3.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{2^{2 x + 2 \cdot 3} \cdot 2}{3} - 4$

Étape 3.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = - \frac{2^{2 x + 6} \cdot 2}{3} - 4$

Étape 3.2.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - \frac{2^{2 x + 6 + 1}}{3} - 4$

Étape 3.2.1.5

Additionnez $6$ et $1$ .

$y = - \frac{2^{2 x + 7}}{3} - 4$

Étape 3.2.2

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2^{2 x + 7}}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.2.3

Associez $- 4$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2^{2 x + 7}}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 2^{2 x + 7} - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.5

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y = \frac{- 2^{2 x + 7} - 12}{3}$

Étape 3.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2^{2 x + 7}$ .

$y = \frac{- (2^{2 x + 7}) - 12}{3}$

Étape 3.2.7

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- (2^{2 x + 7}) - 1 (12)}{3}$

Étape 3.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2^{2 x + 7}) - 1 (12)$ .

$y = \frac{- (2^{2 x + 7} + 12)}{3}$

Étape 3.2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.9.1

Réécrivez $- (2^{2 x + 7} + 12)$ comme $- 1 (2^{2 x + 7} + 12)$ .

$y = \frac{- 1 (2^{2 x + 7} + 12)}{3}$

Étape 3.2.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2^{2 x + 7} + 12}{3}$

Étape 4

Supposez que $y = {(4)}^{x}$ est $f (x) = 4^{x}$ et que $y = - \frac{2}{3} \cdot {(4)}^{x + 3} - 4$ est $g (x) = - \frac{2^{2 x + 7} + 12}{3}$ .

$f (x) = 4^{x}$

$g (x) = - \frac{2^{2 x + 7} + 12}{3}$

Étape 5

La transformation de la première équation à la deuxième peut être déterminée en trouvant $a$ , $h$ et $k$ pour chaque équation.

$y = a b^{x - h} + k$

Étape 6

Déterminez $a$ , $h$ et $k$ pour $f (x) = 4^{x}$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = 0$

Étape 7

Déterminez $a$ , $h$ et $k$ pour $g (x) = - \frac{2^{2 x + 7} + 12}{3}$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$h = - \frac{7}{2}$

$k = 0$

Étape 8

Le décalage horizontal dépend de la valeur de $h$ . Le décalage horizontal est décrit comme :

$g (x) = f (x + h)$ - Le graphe est décalé de $h$ unités vers la gauche.

$g (x) = f (x - h)$ - Le graphe est décalé de $h$ unités vers la droite.

Décalage horizontal : Unités $3.5$ de gauche

Étape 9

Le décalage vertical dépend de la valeur de $k$ . Le décalage vertical est décrit comme :

$g (x) = f (x) + k$ - Le graphe est décalé de $k$ unités vers le haut.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Décalage vertical : Aucune

Étape 10

Le signe de $a$ décrit la réflexion par rapport à l’abscisse. $- a$ signifie que le graphe est reflété par rapport à l’abscisse.

Réflexion par rapport à l’abscisse : Réfléchi

Étape 11

La valeur de $a$ décrit la compression ou l’étirement vertical du graphe.

$a > 1$ est un étirement vertical (le rend plus étroit)

$0 < a < 1$ est une compression verticale (l’élargit)

Compression verticale : Comprimé

Étape 12

Pour déterminer la transformée, comparez les deux fonctions et vérifiez s’il y a un décalage horizontal ou vertical, une réflexion par rapport à l’abscisse et s’il y a un étirement vertical.

Fonction parent : $f (x) = 4^{x}$

Décalage horizontal : Unités $3.5$ de gauche

Décalage vertical : Aucune

Réflexion par rapport à l’abscisse : Réfléchi

Compression verticale : Comprimé

Étape 13