Algèbre Exemples

$x^{3} + x^{2} = x - 1$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} + x^{2} - x = - 1$

Étape 1.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} + x^{2} - x + 1 = 0$

Étape 2

Pour déterminer le nombre possible de racines positives, regardez les signes sur les coefficients et comptez le nombre de fois que les signes sur les coefficients passent de positif à négatif ou de négatif à positif.

$f (x) = x^{3} + x^{2} - x + 1$

Étape 3

Comme il y a $2$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $2$ racines positives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines positives sont déterminés en soustrayant des paires des racines $(2 - 2)$ .

Racines positives : $2$ ou $0$

Étape 4

Pour déterminer le nombre possible de racines négatives, remplacez $x$ par $- x$ et renouvelez la comparaison des signes.

$f (- x) = {(- x)}^{3} + {(- x)}^{2} - (- x) + 1$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} + {(- x)}^{2} - (- x) + 1$

Étape 5.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- x) = - x^{3} + {(- x)}^{2} - (- x) + 1$

Étape 5.3

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - x^{3} + {(- 1)}^{2} x^{2} - (- x) + 1$

Étape 5.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- x) = - x^{3} + 1 x^{2} - (- x) + 1$

Étape 5.5

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- x) = - x^{3} + x^{2} - (- x) + 1$

Étape 5.6

Multipliez $- (- x)$ .

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Étape 5.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- x) = - x^{3} + x^{2} + 1 x + 1$

Étape 5.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (- x) = - x^{3} + x^{2} + x + 1$

Étape 6

Comme il y a $1$ changement de signe du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $1$ racine négative (règle des signes de Descartes).

Racines négatives : $1$

Étape 7

Le nombre possible de racines positives est $2$ ou $0$ , et le nombre possible de racines négatives est $1$ .

Racines positives : $2$ ou $0$

Racines négatives : $1$