Algèbre Exemples

$- \frac{8 x}{5 x - 6}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = - \frac{8 y}{5 y - 6}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez l’équation par $5 y - 6$ .

$(5 y - 6) (x) = (- \frac{8 y}{5 y - 6}) (5 y - 6)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 y x - 6 x = (- \frac{8 y}{5 y - 6}) (5 y - 6)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $5 y - 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8 y}{5 y - 6}$ dans le numérateur.

$5 y x - 6 x = \frac{- 8 y}{5 y - 6} (5 y - 6)$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$5 y x - 6 x = \frac{- 8 y}{5 y - 6} (5 y - 6)$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$5 y x - 6 x = - 8 y$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Ajoutez $8 y$ aux deux côtés de l’équation.

$5 y x - 6 x + 8 y = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $6 x$ aux deux côtés de l’équation.

$5 y x + 8 y = 6 x$

Étape 2.4.3

Factorisez $y$ à partir de $5 y x + 8 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $5 y x$ .

$y (5 x) + 8 y = 6 x$

Étape 2.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $8 y$ .

$y (5 x) + y \cdot 8 = 6 x$

Étape 2.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (5 x) + y \cdot 8$ .

$y (5 x + 8) = 6 x$

Étape 2.4.4

Divisez chaque terme dans $y (5 x + 8) = 6 x$ par $5 x + 8$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (5 x + 8) = 6 x$ par $5 x + 8$ .

$\frac{y (5 x + 8)}{5 x + 8} = \frac{6 x}{5 x + 8}$

Étape 2.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $5 x + 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (5 x + 8)}{5 x + 8} = \frac{6 x}{5 x + 8}$

Étape 2.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{6 x}{5 x + 8}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{5 x + 8}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{5 x + 8}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{8 x}{5 x - 6}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{6 (- \frac{8 x}{5 x - 6})}{5 (- \frac{8 x}{5 x - 6}) + 8}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{- 6 \frac{8 x}{5 x - 6}}{5 (- \frac{8 x}{5 x - 6}) + 8}$

Étape 4.2.3.2

Associez $- 6$ et $\frac{8 x}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{5 (- \frac{8 x}{5 x - 6}) + 8}$

Étape 4.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $5 (- \frac{8 x}{5 x - 6})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{- 5 \frac{8 x}{5 x - 6} + 8}$

Étape 4.2.4.1.2

Associez $- 5$ et $\frac{8 x}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{- 5 (8 x)}{5 x - 6} + 8}$

Étape 4.2.4.1.3

Multipliez $8$ par $- 5$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{- 40 x}{5 x - 6} + 8}$

Étape 4.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{- \frac{40 x}{5 x - 6} + 8}$

Étape 4.2.4.3

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5 x - 6}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{- \frac{40 x}{5 x - 6} + \frac{8 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Étape 4.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{- 40 x + 8 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Étape 4.2.4.5

Réécrivez $\frac{- 40 x + 8 (5 x - 6)}{5 x - 6}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.4.5.1

Factorisez $8$ à partir de $- 40 x + 8 (5 x - 6)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.5.1.1

Factorisez $8$ à partir de $- 40 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{8 (- 5 x) + 8 (5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Étape 4.2.4.5.1.2

Factorisez $8$ à partir de $8 (- 5 x) + 8 (5 x - 6)$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{8 (- 5 x + 5 x - 6)}{5 x - 6}}$

Étape 4.2.4.5.2

Additionnez $- 5 x$ et $5 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{8 (0 - 6)}{5 x - 6}}$

Étape 4.2.4.5.3

Soustrayez $6$ de $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{8 \cdot - 6}{5 x - 6}}$

Étape 4.2.4.6

Multipliez $8$ par $- 6$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{\frac{- 48}{5 x - 6}}$

Étape 4.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 6 (8 x)}{5 x - 6}}{- \frac{48}{5 x - 6}}$

Étape 4.2.5

Multipliez $- 6$ par $8$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{- 48 x}{5 x - 6}}{- \frac{48}{5 x - 6}}$

Étape 4.2.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{- \frac{48 x}{5 x - 6}}{- \frac{48}{5 x - 6}}$

Étape 4.2.6.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{\frac{48 x}{5 x - 6}}{\frac{48}{5 x - 6}}$

Étape 4.2.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{48 x}{5 x - 6} \cdot \frac{5 x - 6}{48}$

Étape 4.2.8

Annulez le facteur commun de $48$ .

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Étape 4.2.8.1

Factorisez $48$ à partir de $48 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{48 (x)}{5 x - 6} \cdot \frac{5 x - 6}{48}$

Étape 4.2.8.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{48 x}{5 x - 6} \cdot \frac{5 x - 6}{48}$

Étape 4.2.8.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{x}{5 x - 6} \cdot (5 x - 6)$

Étape 4.2.9

Annulez le facteur commun de $5 x - 6$ .

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Étape 4.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = \frac{x}{5 x - 6} \cdot (5 x - 6)$

Étape 4.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \frac{8 x}{5 x - 6}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{6 x}{5 x + 8})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{8 (\frac{6 x}{5 x + 8})}{5 (\frac{6 x}{5 x + 8}) - 6}$

Étape 4.3.3

Associez $8$ et $\frac{6 x}{5 x + 8}$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{5 (\frac{6 x}{5 x + 8}) - 6}$

Étape 4.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.4.1

Multipliez $5 \frac{6 x}{5 x + 8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1.1

Associez $5$ et $\frac{6 x}{5 x + 8}$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{5 (6 x)}{5 x + 8} - 6}$

Étape 4.3.4.1.2

Multipliez $6$ par $5$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{30 x}{5 x + 8} - 6}$

Étape 4.3.4.2

Pour écrire $- 6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5 x + 8}{5 x + 8}$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{30 x}{5 x + 8} - 6 \cdot \frac{5 x + 8}{5 x + 8}}$

Étape 4.3.4.3

Associez $- 6$ et $\frac{5 x + 8}{5 x + 8}$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{30 x}{5 x + 8} + \frac{- 6 (5 x + 8)}{5 x + 8}}$

Étape 4.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{30 x - 6 (5 x + 8)}{5 x + 8}}$

Étape 4.3.4.5

Réécrivez $\frac{30 x - 6 (5 x + 8)}{5 x + 8}$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.4.5.1

Factorisez $6$ à partir de $30 x - 6 (5 x + 8)$ .

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Étape 4.3.4.5.1.1

Factorisez $6$ à partir de $30 x$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x) - 6 (5 x + 8)}{5 x + 8}}$

Étape 4.3.4.5.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6 (5 x + 8)$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x) + 6 (- (5 x + 8))}{5 x + 8}}$

Étape 4.3.4.5.1.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (5 x) + 6 (- (5 x + 8))$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x - (5 x + 8))}{5 x + 8}}$

Étape 4.3.4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x - (5 x) - 1 \cdot 8)}{5 x + 8}}$

Étape 4.3.4.5.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x - 5 x - 1 \cdot 8)}{5 x + 8}}$

Étape 4.3.4.5.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (5 x - 5 x - 8)}{5 x + 8}}$

Étape 4.3.4.5.5

Soustrayez $5 x$ de $5 x$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 (0 - 8)}{5 x + 8}}$

Étape 4.3.4.5.6

Soustrayez $8$ de $0$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{6 \cdot - 8}{5 x + 8}}$

Étape 4.3.4.6

Multipliez $6$ par $- 8$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{\frac{- 48}{5 x + 8}}$

Étape 4.3.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{8 (6 x)}{5 x + 8}}{- \frac{48}{5 x + 8}}$

Étape 4.3.5

Multipliez $8$ par $6$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - \frac{\frac{48 x}{5 x + 8}}{- \frac{48}{5 x + 8}}$

Étape 4.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{48 x}{5 x + 8} \cdot (- \frac{5 x + 8}{48}))$

Étape 4.3.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (- \frac{48 x}{5 x + 8} \cdot \frac{5 x + 8}{48})$

Étape 4.3.8

Annulez le facteur commun de $48$ .

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Étape 4.3.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{48 x}{5 x + 8}$ dans le numérateur.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{- 48 x}{5 x + 8} \cdot \frac{5 x + 8}{48})$

Étape 4.3.8.2

Factorisez $48$ à partir de $- 48 x$ .

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{48 (- x)}{5 x + 8} \cdot \frac{5 x + 8}{48})$

Étape 4.3.8.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{48 (- x)}{5 x + 8} \cdot \frac{5 x + 8}{48})$

Étape 4.3.8.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{- x}{5 x + 8} \cdot (5 x + 8))$

Étape 4.3.9

Annulez le facteur commun de $5 x + 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.9.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = - (\frac{- x}{5 x + 8} \cdot (5 x + 8))$

Étape 4.3.9.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{6 x}{5 x + 8}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{5 x + 8}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{8 x}{5 x - 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{5 x + 8}$