Algèbre Exemples

$2 x^{2} - 36 x < - 120$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} - 36 x = - 120$

Étape 2

Ajoutez $120$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 36 x + 120 = 0$

Étape 3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 36 x + 120$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 36 x + 120 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 36 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 18 x) + 120 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $120$ .

$2 x^{2} + 2 (- 18 x) + 2 \cdot 60 = 0$

Étape 3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (- 18 x)$ .

$2 (x^{2} - 18 x) + 2 \cdot 60 = 0$

Étape 3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - 18 x) + 2 \cdot 60$ .

$2 (x^{2} - 18 x + 60) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $2 (x^{2} - 18 x + 60) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 (x^{2} - 18 x + 60) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 18 x + 60)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{2} - 18 x + 60)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x^{2} - 18 x + 60$ par $1$ .

$x^{2} - 18 x + 60 = \frac{0}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x^{2} - 18 x + 60 = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 18$ et $c = 60$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 60)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 18$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 60$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $60$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 240}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $240$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $84$ comme $2^{2} \cdot 21$ .

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Étape 7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $84$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 9 \pm \sqrt{21}$

Étape 8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $- 18$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 60$ .

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $60$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 240}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.3

Soustrayez $240$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.4

Réécrivez $84$ comme $2^{2} \cdot 21$ .

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Étape 8.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $84$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez $\frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 9 \pm \sqrt{21}$

Étape 8.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 9 + \sqrt{21}$

Étape 9

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 18$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 60$ .

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Étape 9.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $60$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 240}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.3

Soustrayez $240$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.4

Réécrivez $84$ comme $2^{2} \cdot 21$ .

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Étape 9.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $84$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Étape 9.3

Simplifiez $\frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 9 \pm \sqrt{21}$

Étape 9.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 9 - \sqrt{21}$

Étape 10

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 9 + \sqrt{21}, 9 - \sqrt{21}$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 9 - \sqrt{21}$

$9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$

$x > 9 + \sqrt{21}$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 9 - \sqrt{21}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 9 - \sqrt{21}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 < - 120$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $0$ n’est pas inférieur au côté droit $- 120$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 9$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $9$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(9)}^{2} - 36 \cdot 9 < - 120$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $- 162$ est inférieur au côté droit $- 120$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 9 + \sqrt{21}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 9 + \sqrt{21}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 16$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $16$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(16)}^{2} - 36 \cdot 16 < - 120$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $- 64$ n’est pas inférieur au côté droit $- 120$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 9 - \sqrt{21}$ Faux

$9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$ Vrai

$x > 9 + \sqrt{21}$ Faux

$x < 9 - \sqrt{21}$ Faux

$9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$ Vrai

$x > 9 + \sqrt{21}$ Faux

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$

Étape 14