Algèbre Exemples

${(x - 1)}^{2} = 4 {(y - 4)}^{2}$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $4 {(y - 4)}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x - 1) - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Étape 1.2.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 1) - 1 (x - 1) - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Étape 1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Étape 1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Étape 1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Étape 1.2.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Étape 1.2.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Étape 1.2.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Étape 1.2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} - x - x + 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Étape 1.2.4

Réécrivez ${(y - 4)}^{2}$ comme $(y - 4) (y - 4)$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 ((y - 4) (y - 4)) = 0$

Étape 1.2.5

Développez $(y - 4) (y - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y (y - 4) - 4 (y - 4)) = 0$

Étape 1.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 (y - 4)) = 0$

Étape 1.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 y - 4 \cdot - 4) = 0$

Étape 1.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.6.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y^{2} + y \cdot - 4 - 4 y - 4 \cdot - 4) = 0$

Étape 1.2.6.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y^{2} - 4 \cdot y - 4 y - 4 \cdot - 4) = 0$

Étape 1.2.6.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y^{2} - 4 y - 4 y + 16) = 0$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $4 y$ de $- 4 y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 (y^{2} - 8 y + 16) = 0$

Étape 1.2.7

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 y^{2} - 4 (- 8 y) - 4 \cdot 16 = 0$

Étape 1.2.8

Simplifiez

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Étape 1.2.8.1

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 y^{2} + 32 y - 4 \cdot 16 = 0$

Étape 1.2.8.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 y^{2} + 32 y - 64 = 0$

Étape 1.3

Soustrayez $64$ de $1$ .

$x^{2} - 2 x - 4 y^{2} + 32 y - 63 = 0$

Étape 1.4

Déplacez $- 2 x$ .

$x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 32 y - 63 = 0$

Étape 2

Ajoutez $63$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 32 y = 63$

Étape 3

Complétez le carré pour $x^{2} - 2 x$ .

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Étape 3.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Étape 3.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 3.3.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 3.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 3.4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 3.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e = 0 - 1$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 1)}^{2} - 1$ .

${(x - 1)}^{2} - 1$

Étape 4

Remplacez $x^{2} - 2 x$ par ${(x - 1)}^{2} - 1$ dans l’équation $x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 32 y = 63$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 - 4 y^{2} + 32 y = 63$

Étape 5

Déplacez $- 1$ du côté droit de l’équation en ajoutant $1$ des deux côtés.

${(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} + 32 y = 63 + 1$

Étape 6

Complétez le carré pour $- 4 y^{2} + 32 y$ .

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Étape 6.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 4$

$b = 32$

$c = 0$

Étape 6.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 6.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{32}{2 \cdot - 4}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun à $32$ et $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot - 4}$

Étape 6.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 (- 4)}$

Étape 6.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot - 4}$

Étape 6.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{16}{- 4}$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $- 4$ .

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Étape 6.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$d = \frac{4 (4)}{- 4}$

Étape 6.3.2.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Étape 6.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$d = - 4$

Étape 6.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{32^{2}}{4 \cdot - 4}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.1

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot - 4}$

Étape 6.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{- 16}$

Étape 6.4.2.1.3

Divisez $1024$ par $- 16$ .

$e = 0 - - 64$

Étape 6.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 64$ .

$e = 0 + 64$

Étape 6.4.2.2

Additionnez $0$ et $64$ .

$e = 64$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 4 {(y - 4)}^{2} + 64$ .

$- 4 {(y - 4)}^{2} + 64$

Étape 7

Remplacez $- 4 y^{2} + 32 y$ par $- 4 {(y - 4)}^{2} + 64$ dans l’équation $x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 32 y = 63$ .

${(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} + 64 = 63 + 1$

Étape 8

Déplacez $64$ du côté droit de l’équation en ajoutant $64$ des deux côtés.

${(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} = 63 + 1 - 64$

Étape 9

Simplifiez $63 + 1 - 64$ .

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Étape 9.1

Additionnez $63$ et $1$ .

${(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} = 64 - 64$

Étape 9.2

Soustrayez $64$ de $64$ .

${(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} = 0$

Étape 10

Divisez chaque terme par $0$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{0} - \frac{4 {(y - 4)}^{2}}{0} = \frac{0}{0}$

Étape 11

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

${(x - 1)}^{2} - {(y - 4)}^{2} = 1$