Algèbre Exemples

$v (r) = \frac{4}{3} π r^{3}$

Étape 1

Simplifiez $\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{4}{3} (π r^{3})$ .

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Étape 1.1.1

Associez $π$ et $\frac{4}{3}$ .

$v r = \frac{π \cdot 4}{3} r^{3}$

Étape 1.1.2

Associez $\frac{π \cdot 4}{3}$ et $r^{3}$ .

$v r = \frac{π \cdot 4 r^{3}}{3}$

Étape 1.2

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$v r = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Étape 2

Soustrayez $\frac{4 π r^{3}}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$v r - \frac{4 π r^{3}}{3} = 0$

Étape 3

Factorisez $r$ à partir de $v r - \frac{4 π r^{3}}{3}$ .

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Étape 3.1

Factorisez $r$ à partir de $v r$ .

$r v - \frac{4 π r^{3}}{3} = 0$

Étape 3.2

Factorisez $r$ à partir de $- \frac{4 π r^{3}}{3}$ .

$r v + r (- \frac{4 π r^{2}}{3}) = 0$

Étape 3.3

Factorisez $r$ à partir de $r v + r (- \frac{4 π r^{2}}{3})$ .

$r (v - \frac{4 π r^{2}}{3}) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$r = 0$

$v - \frac{4 π r^{2}}{3} = 0$

Étape 5

Définissez $r$ égal à $0$ .

$r = 0$

Étape 6

Définissez $v - \frac{4 π r^{2}}{3}$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 6.1

Définissez $v - \frac{4 π r^{2}}{3}$ égal à $0$ .

$v - \frac{4 π r^{2}}{3} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $v - \frac{4 π r^{2}}{3} = 0$ pour $r$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $v$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{4 π r^{2}}{3} = - v$

Étape 6.2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{3}{4 π}$ .

$- \frac{3}{4 π} (- \frac{4 π r^{2}}{3}) = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Étape 6.2.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.3.1.1

Simplifiez $- \frac{3}{4 π} (- \frac{4 π r^{2}}{3})$ .

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Étape 6.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4 π}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3}{4 π} (- \frac{4 π r^{2}}{3}) = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Étape 6.2.3.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 π r^{2}}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3}{4 π} \cdot \frac{- 4 π r^{2}}{3} = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Étape 6.2.3.1.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{4 π} \cdot \frac{- 4 π r^{2}}{3} = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Étape 6.2.3.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 1}{4 π} \cdot \frac{- 4 π r^{2}}{3} = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Étape 6.2.3.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{4 π} (- 4 π r^{2}) = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Étape 6.2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4 π$ .

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Étape 6.2.3.1.1.2.1

Factorisez $4 π$ à partir de $- 4 π r^{2}$ .

$\frac{- 1}{4 π} (4 π (- 1 r^{2})) = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Étape 6.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{4 π} (4 π (- 1 r^{2})) = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Étape 6.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (- 1 r^{2}) = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Étape 6.2.3.1.1.3

Multipliez.

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Étape 6.2.3.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 r^{2} = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Étape 6.2.3.1.1.3.2

Multipliez $r^{2}$ par $1$ .

$r^{2} = - \frac{3}{4 π} (- v)$

Étape 6.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.2.1

Multipliez $- \frac{3}{4 π} (- v)$ .

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Étape 6.2.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r^{2} = 1 \frac{3}{4 π} v$

Étape 6.2.3.2.1.2

Multipliez $\frac{3}{4 π}$ par $1$ .

$r^{2} = \frac{3}{4 π} v$

Étape 6.2.3.2.1.3

Associez $\frac{3}{4 π}$ et $v$ .

$r^{2} = \frac{3 v}{4 π}$

Étape 6.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt{\frac{3 v}{4 π}}$

Étape 6.2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3 v}{4 π}}$ .

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Étape 6.2.5.1

Réécrivez $\frac{3 v}{4 π}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{3 v}{π}$ .

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Étape 6.2.5.1.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $3 v$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (3 v)}{4 π}}$

Étape 6.2.5.1.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4 π$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (3 v)}{2^{2} π}}$

Étape 6.2.5.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (3 v)}{2^{2} π}$ .

$r = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{3 v}{π}}$

Étape 6.2.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3 v}{π}}$

Étape 6.2.5.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{3 v}{π}}$ comme $\frac{\sqrt{3 v}}{\sqrt{π}}$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v}}{\sqrt{π}}$

Étape 6.2.5.4

Multipliez $\frac{\sqrt{3 v}}{\sqrt{π}}$ par $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$r = \pm \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3 v}}{\sqrt{π}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}})$

Étape 6.2.5.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.5.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3 v}}{\sqrt{π}}$ par $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{\sqrt{π} \sqrt{π}}$

Étape 6.2.5.5.2

Élevez $\sqrt{π}$ à la puissance $1$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} \sqrt{π}}$

Étape 6.2.5.5.3

Élevez $\sqrt{π}$ à la puissance $1$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} {\sqrt{π}}^{1}}$

Étape 6.2.5.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1 + 1}}$

Étape 6.2.5.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{2}}$

Étape 6.2.5.5.6

Réécrivez ${\sqrt{π}}^{2}$ comme $π$ .

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Étape 6.2.5.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{π}$ comme $π^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{{(π^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.2.5.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{π^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.2.5.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.2.5.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.5.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.2.5.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{π^{1}}$

Étape 6.2.5.5.6.5

Simplifiez

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v} \sqrt{π}}{π}$

Étape 6.2.5.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$r = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 v π}}{π}$

Étape 6.2.5.7

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{3 v π}}{π}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

Étape 6.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

Étape 6.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

Étape 6.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $r (v - \frac{4 π r^{2}}{3}) = 0$ vraie.

$r = 0$

$r = \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

$r = - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$

Étape 8

Pour réécrire comme une fonction de $v$ , écrivez l’équation de sorte que $r$ figure seul d’un côté du signe égal et qu’une expression avec uniquement $v$ figure de l’autre côté.

$f (v) = 0, \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{3 v π}}{2 π}$