Algèbre Exemples

$q (3) = \frac{1}{x^{2} - 9}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{x^{2} - 9} = q (3)$ .

$\frac{1}{x^{2} - 9} = q (3)$

Étape 2

Factorisez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3^{2}} = q (3)$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = q (3)$

Étape 3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$(x + 3) (x - 3), 1$

Étape 3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$(x + 3) (x - 3)$

Étape 4

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = q (3)$ par $(x + 3) (x - 3)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = q (3)$ par $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} ((x + 3) (x - 3)) = q (3) ((x + 3) (x - 3))$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $(x + 3) (x - 3)$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} ((x + 3) (x - 3)) = q (3) ((x + 3) (x - 3))$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = q (3) ((x + 3) (x - 3))$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $q$ .

$1 = 3 q ((x + 3) (x - 3))$

Étape 4.3.2

Développez $(x + 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 3 q (x (x - 3) + 3 (x - 3))$

Étape 4.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 3 q (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))$

Étape 4.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 3 q (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Étape 4.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 4.3.3.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 3$ et $3 x$ .

$1 = 3 q (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Étape 4.3.3.1.2

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$1 = 3 q (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)$

Étape 4.3.3.1.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$1 = 3 q (x \cdot x + 3 \cdot - 3)$

Étape 4.3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 = 3 q (x^{2} + 3 \cdot - 3)$

Étape 4.3.3.2.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$1 = 3 q (x^{2} - 9)$

Étape 4.3.3.3

Simplifiez en multipliant.

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Étape 4.3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 3 q x^{2} + 3 q \cdot - 9$

Étape 4.3.3.3.2

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$1 = 3 q x^{2} - 27 q$

Étape 5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $3 q x^{2} - 27 q = 1$ .

$3 q x^{2} - 27 q = 1$

Étape 5.2

Ajoutez $27 q$ aux deux côtés de l’équation.

$3 q x^{2} = 1 + 27 q$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $3 q x^{2} = 1 + 27 q$ par $3 q$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 q x^{2} = 1 + 27 q$ par $3 q$ .

$\frac{3 q x^{2}}{3 q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 q x^{2}}{3 q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{q x^{2}}{q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $q$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{q x^{2}}{q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $27 q$ .

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{3 (9 q)}{3 q}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 q$ .

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{3 (9 q)}{3 (q)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{3 (9 q)}{3 q}$

Étape 5.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{9 q}{q}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $q$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{9 q}{q}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Divisez $9$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + 9$

Étape 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + 9}$

Étape 5.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + 9}$ .

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Étape 5.5.1

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 q}{3 q}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + 9 \cdot \frac{3 q}{3 q}}$

Étape 5.5.2

Associez $9$ et $\frac{3 q}{3 q}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + \frac{9 (3 q)}{3 q}}$

Étape 5.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + 9 (3 q)}{3 q}}$

Étape 5.5.4

Multipliez $9$ par $3$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + 27 q}{3 q}}$

Étape 5.5.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 + 27 q}{3 q}}$ comme $\frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$

Étape 5.5.6

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$ par $\frac{\sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}} \cdot \frac{\sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q}}$

Étape 5.5.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$ par $\frac{\sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q} \sqrt{3 q}}$

Étape 5.5.7.2

Élevez $\sqrt{3 q}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{1} \sqrt{3 q}}$

Étape 5.5.7.3

Élevez $\sqrt{3 q}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{1} {\sqrt{3 q}}^{1}}$

Étape 5.5.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{2}}$

Étape 5.5.7.6

Réécrivez ${\sqrt{3 q}}^{2}$ comme $3 q$ .

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Étape 5.5.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 q}$ comme ${(3 q)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{({(3 q)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{1}}$

Étape 5.5.7.6.5

Simplifiez

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{3 q}$

Étape 5.5.8

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 + 27 q) \cdot 3 q}}{3 q}$

Étape 5.5.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(1 + 27 q) \cdot 3 q}}{3 q}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

Étape 5.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

Étape 5.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

Étape 5.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

Étape 6

Pour réécrire comme une fonction de $q$ , écrivez l’équation de sorte que $x$ figure seul d’un côté du signe égal et qu’une expression avec uniquement $q$ figure de l’autre côté.

$f (q) = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}, - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$