Algèbre Exemples

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{4 x})) = 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{4 x})) - 1 = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{2^{2} x})) - 1 = 0$

Étape 2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\log_{2} (\log_{2} (2 \sqrt{x})) - 1 = 0$

Étape 3

Définissez l’argument dans $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 \sqrt{x} \leq 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(2 \sqrt{x})}^{2} \leq 0^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 x^{1} \leq 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.4

Simplifiez

$4 x \leq 0^{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 x \leq 0$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $4 x \leq 0$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x \leq 0$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{0}{4}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{0}{4}$

Étape 4.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{0}{4}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x \leq 0$

Étape 5

Définissez l’argument dans $\log_{2} (\log_{2} (2 \sqrt{x}))$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\log_{2} (2 \sqrt{x}) \leq 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log_{2} (2 \sqrt{x}) = 0$

Étape 6.2

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Réécrivez $\log_{2} (2 \sqrt{x}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{0} = 2 \sqrt{x}$

Étape 6.2.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Réécrivez l’équation comme $2 \sqrt{x} = 2^{0}$ .

$2 \sqrt{x} = 2^{0}$

Étape 6.2.2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Étape 6.2.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.3.2.1

Simplifiez ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Étape 6.2.2.3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Étape 6.2.2.3.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.3.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{0})}^{2}$

Étape 6.2.2.3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.3.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{0})}^{2}$

Étape 6.2.2.3.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 x^{1} = {(2^{0})}^{2}$

Étape 6.2.2.3.2.1.4

Simplifiez

$4 x = {(2^{0})}^{2}$

Étape 6.2.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.3.3.1

Simplifiez ${(2^{0})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.3.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{0})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.3.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x = 2^{0 \cdot 2}$

Étape 6.2.2.3.3.1.1.2

Multipliez $0$ par $2$ .

$4 x = 2^{0}$

Étape 6.2.2.3.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 x = 1$

Étape 6.2.2.4

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.4.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 6.2.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 6.2.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Étape 6.3

Déterminez le domaine de $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Définissez l’argument dans $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 \sqrt{x} > 0$

Étape 6.3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(2 \sqrt{x})}^{2} > 0^{2}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.2.1

Simplifiez ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 x^{1} > 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.2.1.4

Simplifiez

$4 x > 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 x > 0$

Étape 6.3.2.3

Divisez chaque terme dans $4 x > 0$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x > 0$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} > \frac{0}{4}$

Étape 6.3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} > \frac{0}{4}$

Étape 6.3.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{0}{4}$

Étape 6.3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x > 0$

Étape 6.3.2.4

Déterminez le domaine de $2 \sqrt{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 6.3.2.4.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 6.3.2.5

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x > 0$

Étape 6.3.3

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 6.3.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(0, \infty)$

Étape 6.4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$x > \frac{1}{4}$

Étape 6.5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 6.5.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{2} (2 \sqrt{- 2}) \leq 0$

Étape 6.5.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.12$

Étape 6.5.2.2

Remplacez $x$ par $0.12$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{2} (2 \sqrt{0.12}) \leq 0$

Étape 6.5.2.3

Le côté gauche $- 0.52944684$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 6.5.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{2} (2 \sqrt{3}) \leq 0$

Étape 6.5.3.3

Le côté gauche $1.79248125$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.5.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{1}{4}$ Vrai

$x > \frac{1}{4}$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{1}{4}$ Vrai

$x > \frac{1}{4}$ Faux

Étape 6.6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x \leq \frac{1}{4}$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 8

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq \frac{1}{4}$

$(- \infty, \frac{1}{4}]$

Étape 9