Algèbre Exemples

${(\sqrt{2} x + \frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(\sqrt{2} x)}^{4 - k} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(\sqrt{2} x)}^{4 - 0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(\sqrt{2} x)}^{4 - 1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(\sqrt{2} x)}^{4 - 2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(\sqrt{2} x)}^{4 - 3} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(\sqrt{2} x)}^{4 - 4} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{4} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{0} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(\sqrt{2} x)}^{4}$ par $1$ .

${(\sqrt{2} x)}^{4} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{0} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{2} x$ .

${\sqrt{2}}^{4} x^{4} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{0} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} x^{4} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{0} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} x^{4} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{0} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$2^{\frac{4}{2}} x^{4} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{0} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} x^{4} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{0} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} x^{4} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{0} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} x^{4} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{0} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2^{\frac{2}{1}} x^{4} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{0} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.3.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2^{2} x^{4} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{0} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 x^{4} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{0} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $y$ .

$4 x^{4} \cdot {(\frac{y}{2})}^{0} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{2}$ .

$4 x^{4} \cdot \frac{y^{0}}{2^{0}} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 x^{4} \cdot \frac{1}{2^{0}} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 x^{4} \cdot \frac{1}{1} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.9

Divisez $1$ par $1$ .

$4 x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.10

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 x^{4} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.11

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{2} x$ .

$4 x^{4} + 4 \cdot ({\sqrt{2}}^{3} x^{3}) \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.12

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$4 x^{4} + 4 \cdot (\sqrt{2^{3}} x^{3}) \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.13

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 x^{4} + 4 \cdot (\sqrt{8} x^{3}) \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.14

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.14.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$4 x^{4} + 4 \cdot (\sqrt{4 (2)} x^{3}) \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.14.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 x^{4} + 4 \cdot (\sqrt{2^{2} \cdot 2} x^{3}) \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$4 x^{4} + 4 \cdot (2 \sqrt{2} x^{3}) \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.16

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 x^{4} + 8 (\sqrt{2} x^{3}) \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.17

Associez $\frac{1}{2}$ et $y$ .

$4 x^{4} + 8 \sqrt{2} x^{3} \cdot {(\frac{y}{2})}^{1} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.18

Simplifiez

$4 x^{4} + 8 \sqrt{2} x^{3} \cdot \frac{y}{2} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.19

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.19.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \sqrt{2} x^{3}$ .

$4 x^{4} + 2 (4 \sqrt{2} x^{3}) \cdot \frac{y}{2} + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.19.2

Annulez le facteur commun.

Étape 4.19.3

Réécrivez l’expression.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} \cdot y + 6 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.20

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{2} x$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 6 \cdot ({\sqrt{2}}^{2} x^{2}) \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.21

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.21.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 6 \cdot ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2}) \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.21.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 6 \cdot (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2}) \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.21.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 6 \cdot (2^{\frac{2}{2}} x^{2}) \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.21.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.21.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 4.21.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 6 \cdot (2^{1} x^{2}) \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.21.5

Évaluez l’exposant.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 6 \cdot (2 x^{2}) \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.22

Multipliez $2$ par $6$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 12 x^{2} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.23

Associez $\frac{1}{2}$ et $y$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 12 x^{2} \cdot {(\frac{y}{2})}^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.24

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{2}$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 12 x^{2} \cdot \frac{y^{2}}{2^{2}} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.25

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 12 x^{2} \cdot \frac{y^{2}}{4} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.26

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.26.1

Factorisez $4$ à partir de $12 x^{2}$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 4 (3 x^{2}) \cdot \frac{y^{2}}{4} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.26.2

Annulez le facteur commun.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 4 (3 x^{2}) \cdot \frac{y^{2}}{4} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.26.3

Réécrivez l’expression.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} \cdot y^{2} + 4 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.27

Simplifiez

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 4 \cdot (\sqrt{2} x) \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.28

Associez $\frac{1}{2}$ et $y$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 4 \sqrt{2} x \cdot {(\frac{y}{2})}^{3} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.29

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{2}$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 4 \sqrt{2} x \cdot \frac{y^{3}}{2^{3}} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.30

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 4 \sqrt{2} x \cdot \frac{y^{3}}{8} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.31

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.31.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{2} x$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 4 (\sqrt{2} x) \cdot \frac{y^{3}}{8} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.31.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 4 (\sqrt{2} x) \cdot \frac{y^{3}}{4 (2)} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.31.3

Annulez le facteur commun.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 4 (\sqrt{2} x) \cdot \frac{y^{3}}{4 \cdot 2} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.31.4

Réécrivez l’expression.

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + \sqrt{2} x \cdot \frac{y^{3}}{2} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.32

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{y^{3}}{2}$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + x \cdot \frac{\sqrt{2} y^{3}}{2} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.33

Associez $x$ et $\frac{\sqrt{2} y^{3}}{2}$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + \frac{x (\sqrt{2} y^{3})}{2} + 1 \cdot {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.34

Multipliez ${(\sqrt{2} x)}^{0}$ par $1$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + \frac{x \sqrt{2} y^{3}}{2} + {(\sqrt{2} x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.35

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{2} x$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + \frac{x \sqrt{2} y^{3}}{2} + {\sqrt{2}}^{0} x^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.36

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + \frac{x \sqrt{2} y^{3}}{2} + 1 x^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.37

Multipliez $x^{0}$ par $1$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + \frac{x \sqrt{2} y^{3}}{2} + x^{0} \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.38

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + \frac{x \sqrt{2} y^{3}}{2} + 1 \cdot {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.39

Multipliez ${(\frac{1}{2} y)}^{4}$ par $1$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + \frac{x \sqrt{2} y^{3}}{2} + {(\frac{1}{2} y)}^{4}$

Étape 4.40

Associez $\frac{1}{2}$ et $y$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + \frac{x \sqrt{2} y^{3}}{2} + {(\frac{y}{2})}^{4}$

Étape 4.41

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{2}$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + \frac{x \sqrt{2} y^{3}}{2} + \frac{y^{4}}{2^{4}}$

Étape 4.42

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$4 x^{4} + 4 \sqrt{2} x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + \frac{x \sqrt{2} y^{3}}{2} + \frac{y^{4}}{16}$