Algèbre Exemples

$y = \frac{\ln (x)}{x^{8}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\ln (x)}{x^{8}})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{8}$ .

$\frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{{(x^{8})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{8})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{8 \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Étape 3.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{8} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.4.1

Associez $x^{8}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{8}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{8}$ et $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{8}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Étape 3.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Étape 3.4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Étape 3.4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Étape 3.4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{x^{7}}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Étape 3.4.2.2.5

Divisez $x^{7}$ par $1$ .

$\frac{x^{7} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$\frac{x^{7} - \ln (x) (8 x^{7})}{x^{16}}$

Étape 3.4.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.4.4.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{x^{7} - 8 \ln (x) x^{7}}{x^{16}}$

Étape 3.4.4.2

Factorisez $x^{7}$ à partir de $x^{7} - 8 \ln (x) x^{7}$ .

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Étape 3.4.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{x^{7} \cdot 1 - 8 \ln (x) x^{7}}{x^{16}}$

Étape 3.4.4.2.2

Factorisez $x^{7}$ à partir de $- 8 \ln (x) x^{7}$ .

$\frac{x^{7} \cdot 1 + x^{7} (- 8 \ln (x))}{x^{16}}$

Étape 3.4.4.2.3

Factorisez $x^{7}$ à partir de $x^{7} \cdot 1 + x^{7} (- 8 \ln (x))$ .

$\frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{16}}$

Étape 3.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.1

Factorisez $x^{7}$ à partir de $x^{16}$ .

$\frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{7} x^{9}}$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{7} x^{9}}$

Étape 3.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 8 \ln (x)}{x^{9}}$

Étape 3.6

Simplifiez $- 8 \ln (x)$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$\frac{1 - \ln (x^{8})}{x^{9}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{1 - \ln (x^{8})}{x^{9}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - \ln (x^{8})}{x^{9}}$