Algèbre Exemples

$y = \frac{1}{2} {(x + 4)}^{2}$

Étape 1

La fonction parent est la forme la plus simple du type de fonction donné.

$y = x^{2}$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot {(x + 4)}^{2}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez ${(x + 4)}^{2}$ comme $(x + 4) (x + 4)$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot ((x + 4) (x + 4))$

Étape 2.2

Développez $(x + 4) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x (x + 4) + 4 (x + 4))$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4))$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)$

Étape 2.3.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4)$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 4 x + 4 x + 16)$

Étape 2.3.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 8 x + 16)$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} (8 x) + \frac{1}{2} \cdot 16$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (8 x) + \frac{1}{2} \cdot 16$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (4 x)) + \frac{1}{2} \cdot 16$

Étape 2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (4 x)) + \frac{1}{2} \cdot 16$

Étape 2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + \frac{1}{2} \cdot 16$

Étape 2.5.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.3.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + \frac{1}{2} \cdot (2 (8))$

Étape 2.5.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8)$

Étape 2.5.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 8$

Étape 3

Supposez que $y = x^{2}$ est $f (x) = x^{2}$ et que $y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 4)}^{2}$ est $g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 8$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 8$

Étape 4

La transformation décrite est de $f (x) = x^{2}$ à $g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 8$ .

$f (x) = x^{2} \to g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 8$

Étape 5

Déterminez la forme du sommet de $g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 8$ .

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Étape 5.1

Complétez le carré pour $\frac{x^{2}}{2} + 4 x + 8$ .

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Étape 5.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 4$

$c = 8$

Étape 5.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 5.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 5.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 5.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 5.1.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{\frac{1}{2}}$

Étape 5.1.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 2 \cdot 2$

Étape 5.1.3.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$d = 4$

Étape 5.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 8 - \frac{4^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 5.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à $4^{2}$ et $4$ .

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Étape 5.1.4.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 8 - \frac{4 \cdot 4}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 5.1.4.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$e = 8 - \frac{4 \cdot 4}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 5.1.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e = 8 - \frac{4}{\frac{1}{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 8 - (4 \cdot 2)$

Étape 5.1.4.2.1.3

Multipliez $- (4 \cdot 2)$ .

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Étape 5.1.4.2.1.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$e = 8 - 1 \cdot 8$

Étape 5.1.4.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$e = 8 - 8$

Étape 5.1.4.2.2

Soustrayez $8$ de $8$ .

$e = 0$

Étape 5.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{2} {(x + 4)}^{2} + 0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4)}^{2} + 0$

Étape 5.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 4)}^{2} + 0$

Étape 6

Le décalage horizontal dépend de la valeur de $h$ . Le décalage horizontal est décrit comme :

$g (x) = f (x + h)$ - Le graphe est décalé de $h$ unités vers la gauche.

$g (x) = f (x - h)$ - Le graphe est décalé de $h$ unités vers la droite.

Décalage horizontal : Unités $4$ de gauche

Étape 7

Le décalage vertical dépend de la valeur de $k$ . Le décalage vertical est décrit comme :

$g (x) = f (x) + k$ - Le graphe est décalé de $k$ unités vers le haut.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Dans ce cas, $k = 0$ ce qui signifie que le graphe n’est pas décalé vers le haut ni vers le bas.

Décalage vertical : Aucune

Étape 8

Le graphe est reflété autour de l’abscisse quand $g (x) = - f (x)$ .

Réflexion par rapport à l’abscisse : Aucune

Étape 9

Le graphe est reflété autour de l’ordonnée quand $g (x) = f (- x)$ .

Réflexion par rapport à l’ordonnée : Aucune

Étape 10

La compression et le développement dépendent de la valeur de $a$ .

Quand $a$ est supérieur à $1$ : Étiré verticalement

Où $a$ est compris entre $0$ et $1$ : Comprimé verticalement

Compression verticale ou étirement : Comprimé

Étape 11

Comparez et énumérez les transformées.

Fonction parent : $y = x^{2}$

Décalage horizontal : Unités $4$ de gauche

Décalage vertical : Aucune

Réflexion par rapport à l’abscisse : Aucune

Réflexion par rapport à l’ordonnée : Aucune

Compression verticale ou étirement : Comprimé

Étape 12