Algèbre Exemples

$(12, 67, - 9)$ , $(\frac{1}{2}, 6, - 4)$

Étape 1

To find the distance between two 3d points, square the difference of the x, y, and z points. Then, sum them and take the square root.

$\sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$

Étape 2

Remplacez $x_{1}$ , $x_{2}$ , $y_{1}$ , $y_{2}$ , $z_{1}$ et $z_{2}$ par les valeurs correspondantes.

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{1}{2} - 12)}^{2} + {(6 - 67)}^{2} + {(- 4 - (- 9))}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez l’expression $\sqrt{{(\frac{1}{2} - 12)}^{2} + {(6 - 67)}^{2} + {(- 4 - (- 9))}^{2}}$ .

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Étape 3.1

Pour écrire $- 12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{1}{2} - 12 \cdot \frac{2}{2})}^{2} + {(6 - 67)}^{2} + {(- 4 - (- 9))}^{2}}$

Étape 3.2

Associez $- 12$ et $\frac{2}{2}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{1}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2})}^{2} + {(6 - 67)}^{2} + {(- 4 - (- 9))}^{2}}$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{1 - 12 \cdot 2}{2})}^{2} + {(6 - 67)}^{2} + {(- 4 - (- 9))}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{1 - 24}{2})}^{2} + {(6 - 67)}^{2} + {(- 4 - (- 9))}^{2}}$

Étape 3.4.2

Soustrayez $24$ de $1$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(\frac{- 23}{2})}^{2} + {(6 - 67)}^{2} + {(- 4 - (- 9))}^{2}}$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$D i s t a n c e = \sqrt{{(- \frac{23}{2})}^{2} + {(6 - 67)}^{2} + {(- 4 - (- 9))}^{2}}$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{23}{2}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{23}{2})}^{2} + {(6 - 67)}^{2} + {(- 4 - (- 9))}^{2}}$

Étape 3.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{23}{2}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{23^{2}}{2^{2}}) + {(6 - 67)}^{2} + {(- 4 - (- 9))}^{2}}$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{1 (\frac{23^{2}}{2^{2}}) + {(6 - 67)}^{2} + {(- 4 - (- 9))}^{2}}$

Étape 3.7.2

Multipliez $\frac{23^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{23^{2}}{2^{2}} + {(6 - 67)}^{2} + {(- 4 - (- 9))}^{2}}$

Étape 3.7.3

Élevez $23$ à la puissance $2$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{529}{2^{2}} + {(6 - 67)}^{2} + {(- 4 - (- 9))}^{2}}$

Étape 3.7.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{529}{4} + {(6 - 67)}^{2} + {(- 4 - (- 9))}^{2}}$

Étape 3.7.5

Soustrayez $67$ de $6$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{529}{4} + {(- 61)}^{2} + {(- 4 - (- 9))}^{2}}$

Étape 3.7.6

Élevez $- 61$ à la puissance $2$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{529}{4} + 3721 + {(- 4 - (- 9))}^{2}}$

Étape 3.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.1

Multipliez $- 1$ par chaque élément de la matrice.

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{529}{4} + 3721 + {(- 4 + 9)}^{2}}$

Étape 3.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{529}{4} + 3721 + {(- 4 + 9)}^{2}}$

Étape 3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.9.1

Additionnez $- 4$ et $9$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{529}{4} + 3721 + 5^{2}}$

Étape 3.9.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{529}{4} + 3721 + 25}$

Étape 3.10

Pour écrire $3721$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{529}{4} + 3721 \cdot \frac{4}{4} + 25}$

Étape 3.11

Associez $3721$ et $\frac{4}{4}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{529}{4} + \frac{3721 \cdot 4}{4} + 25}$

Étape 3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{529 + 3721 \cdot 4}{4} + 25}$

Étape 3.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.13.1

Multipliez $3721$ par $4$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{529 + 14884}{4} + 25}$

Étape 3.13.2

Additionnez $529$ et $14884$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{15413}{4} + 25}$

Étape 3.14

Pour écrire $25$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{15413}{4} + 25 \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 3.15

Associez $25$ et $\frac{4}{4}$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{15413}{4} + \frac{25 \cdot 4}{4}}$

Étape 3.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{15413 + 25 \cdot 4}{4}}$

Étape 3.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.17.1

Multipliez $25$ par $4$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{15413 + 100}{4}}$

Étape 3.17.2

Additionnez $15413$ et $100$ .

$D i s t a n c e = \sqrt{\frac{15513}{4}}$

Étape 3.18

Réécrivez $\sqrt{\frac{15513}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{15513}}{\sqrt{4}}$ .

$D i s t a n c e = \frac{\sqrt{15513}}{\sqrt{4}}$

Étape 3.19

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.19.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$D i s t a n c e = \frac{\sqrt{15513}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 3.19.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$D i s t a n c e = \frac{\sqrt{15513}}{2}$

Étape 4

La distance entre $(12, 67, - 9)$ et $(\frac{1}{2}, 6, - 4)$ est $\frac{\sqrt{15513}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{15513}}{2} \approx 62.27559714$