Algèbre Exemples

$10^{x - 1}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 10^{y - 1}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $10^{y - 1} = x$ .

$10^{y - 1} = x$

Étape 2.2

Prenez le logarithme $10$ de base des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\log (10^{y - 1}) = \log (x)$

Étape 2.3

Développez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Développez $\log (10^{y - 1})$ en déplaçant $y - 1$ hors du logarithme.

$(y - 1) \log (10) = \log (x)$

Étape 2.3.2

La base logarithmique $10$ de $10$ est $1$ .

$(y - 1) \cdot 1 = \log (x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $y - 1$ par $1$ .

$y - 1 = \log (x)$

Étape 2.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \log (x) + 1$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \log (x) + 1$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \log (x) + 1$ est l’inverse de $f (x) = 10^{x - 1}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} \cdot 10^{x - 1}$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x - 1} = \log (10^{x - 1}) + 1$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x - 1$ de l’exposant.

$f^{- 1} \cdot 10^{x - 1} = (x - 1) \log (10) + 1$

Étape 4.2.3.2

La base logarithmique $10$ de $10$ est $1$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x - 1} = (x - 1) \cdot 1 + 1$

Étape 4.2.3.3

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x - 1} = x - 1 + 1$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 4.2.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x - 1} = x + 0$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} \cdot 10^{x - 1} = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\log (x) + 1)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\log (x) + 1) = 10^{(\log (x) + 1) - 1}$

Étape 4.3.3

Associez les termes opposés dans $(\log (x) + 1) - 1$ .

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Étape 4.3.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\log (x) + 1) = 10^{\log (x) + 0}$

Étape 4.3.3.2

Additionnez $\log (x)$ et $0$ .

$f (\log (x) + 1) = 10^{\log (x)}$

Étape 4.3.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\log (x) + 1) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \log (x) + 1$ est l’inverse de $f (x) = 10^{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \log (x) + 1$