Algèbre Exemples

$\sqrt{\frac{48}{x}}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{\frac{48}{y}}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{\frac{48}{y}} = x$ .

$\sqrt{\frac{48}{y}} = x$

Étape 2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{\frac{48}{y}}}^{2} = x^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{48}{y}}$ comme ${(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez ${({(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{48}{y})}^{1} = x^{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Simplifiez

$\frac{48}{y} = x^{2}$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1$

Étape 2.4.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 2.4.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{48}{y} = x^{2}$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{48}{y} = x^{2}$ par $y$ .

$\frac{48}{y} y = x^{2} y$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{48}{y} y = x^{2} y$

Étape 2.4.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$48 = x^{2} y$

Étape 2.4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} y = 48$ .

$x^{2} y = 48$

Étape 2.4.3.2

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = 48$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 2.4.3.2.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = 48$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{48}{x^{2}}$

Étape 2.4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.4.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{48}{x^{2}}$

Étape 2.4.3.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{48}{x^{2}}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{48}{x^{2}}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{48}{x^{2}}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{\frac{48}{x}}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\sqrt{\frac{48}{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{48}{x}}$ comme $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.2.1

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.2.3.2.1.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{\sqrt{16 (3)}}{\sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.3.2.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 3}}{\sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.3.3

Multipliez $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.3.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.3.4.1

Multipliez $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.3.4.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.3.4.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}}$

Étape 4.2.3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.3.4.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 4.2.3.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.3.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

Étape 4.2.3.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Étape 4.2.3.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Étape 4.2.3.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{x})}^{2}}$

Étape 4.2.3.4.6.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{x})}^{2}}$

Étape 4.2.3.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{x \cdot 3}}{x})}^{2}}$

Étape 4.2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3 \cdot x}}{x})}^{2}}$

Étape 4.2.3.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.3.7.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 \sqrt{3 x}}{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{{(4 \sqrt{3 x})}^{2}}{x^{2}}}$

Étape 4.2.3.7.2

Appliquez la règle de produit à $4 \sqrt{3 x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{4^{2} {\sqrt{3 x}}^{2}}{x^{2}}}$

Étape 4.2.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.8.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 {\sqrt{3 x}}^{2}}{x^{2}}}$

Étape 4.2.3.8.2

Réécrivez ${\sqrt{3 x}}^{2}$ comme $3 x$ .

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Étape 4.2.3.8.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x}$ comme ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 {({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}}$

Étape 4.2.3.8.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 {(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}}$

Étape 4.2.3.8.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 {(3 x)}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}$

Étape 4.2.3.8.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.8.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 {(3 x)}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}$

Étape 4.2.3.8.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 (3 x)}{x^{2}}}$

Étape 4.2.3.8.2.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 (3 x)}{x^{2}}}$

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 \cdot (3 x)}{x^{2}}}$

Étape 4.2.3.8.3

Multipliez $16$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{48 x}{x^{2}}}$

Étape 4.2.3.9

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.2.3.9.1

Factorisez $x$ à partir de $48 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{x \cdot 48}{x^{2}}}$

Étape 4.2.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.9.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{x \cdot 48}{x \cdot x}}$

Étape 4.2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{x \cdot 48}{x \cdot x}}$

Étape 4.2.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{48}{x}}$

Étape 4.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = 48 (\frac{x}{48})$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $48$ .

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = 48 (\frac{x}{48})$

Étape 4.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{48}{x^{2}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{48}{x^{2}}) = \sqrt{\frac{48}{\frac{48}{x^{2}}}}$

Étape 4.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{48}{x^{2}}) = \sqrt{48 (\frac{x^{2}}{48})}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $48$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{48}{x^{2}}) = \sqrt{48 (\frac{x^{2}}{48})}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{48}{x^{2}}) = \sqrt{x^{2}}$

Étape 4.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{48}{x^{2}}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{48}{x^{2}}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{\frac{48}{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{48}{x^{2}}$