Algèbre Exemples

$\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

Étape 1

Multipliez $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ par $1$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

Étape 2

Multipliez pour rationaliser le numérateur.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Élevez $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}^{1} \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}^{1} {\sqrt{2 + \sqrt{3}}}^{1}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}^{1 + 1}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}^{2}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Étape 3.5

Réécrivez ${\sqrt{2 + \sqrt{3}}}^{2}$ comme $2 + \sqrt{3}$ .

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Étape 3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ comme ${(2 + \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 + \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Étape 3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Étape 3.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Étape 3.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(2 + \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Étape 3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(2 + \sqrt{3})}^{1}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Étape 3.5.5

Simplifiez

$\frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}$

Étape 4

Multipliez pour rationaliser le numérateur.

$\frac{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}{\sqrt{2 + \sqrt{3}} (2 - \sqrt{3})}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Développez le numérateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}} (2 - \sqrt{3})}$

Étape 5.2

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{3}} (2 - \sqrt{3})}$

Étape 6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot 2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}} (- \sqrt{3})}$

Étape 7

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 + \sqrt{3}} (- \sqrt{3})}$

Étape 8

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{1}{2 \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 3}}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2 \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 3}}$

Forme décimale :

$1.93185165 \dots$