Algèbre Exemples

$r (x) = - \frac{3}{2} {(x + 10)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(x + 10)}^{2}$ comme $(x + 10) (x + 10)$ .

$r (x) = - \frac{3}{2} \cdot ((x + 10) (x + 10))$

Étape 2

Développez $(x + 10) (x + 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$r (x) = - \frac{3}{2} \cdot (x (x + 10) + 10 (x + 10))$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$r (x) = - \frac{3}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 10 + 10 (x + 10))$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$r (x) = - \frac{3}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 10 + 10 x + 10 \cdot 10)$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$r (x) = - \frac{3}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot 10 + 10 x + 10 \cdot 10)$

Étape 3.1.2

Déplacez $10$ à gauche de $x$ .

$r (x) = - \frac{3}{2} \cdot (x^{2} + 10 \cdot x + 10 x + 10 \cdot 10)$

Étape 3.1.3

Multipliez $10$ par $10$ .

$r (x) = - \frac{3}{2} \cdot (x^{2} + 10 x + 10 x + 100)$

Étape 3.2

Additionnez $10 x$ et $10 x$ .

$r (x) = - \frac{3}{2} \cdot (x^{2} + 20 x + 100)$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$r (x) = - \frac{3}{2} x^{2} - \frac{3}{2} \cdot (20 x) - \frac{3}{2} \cdot 100$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{3}{2}$ .

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot (20 x) - \frac{3}{2} \cdot 100$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (20 x) - \frac{3}{2} \cdot 100$

Étape 5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $20 x$ .

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (10 x)) - \frac{3}{2} \cdot 100$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun.

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (10 x)) - \frac{3}{2} \cdot 100$

Étape 5.2.4

Réécrivez l’expression.

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} - 3 (10 x) - \frac{3}{2} \cdot 100$

Étape 5.3

Multipliez $10$ par $- 3$ .

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} - 30 x - \frac{3}{2} \cdot 100$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} - 30 x + \frac{- 3}{2} \cdot 100$

Étape 5.4.2

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} - 30 x + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (50))$

Étape 5.4.3

Annulez le facteur commun.

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} - 30 x + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 50)$

Étape 5.4.4

Réécrivez l’expression.

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} - 30 x - 3 \cdot 50$

Étape 5.5

Multipliez $- 3$ par $50$ .

$r (x) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} - 30 x - 150$

Étape 6

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$r (x) = - \frac{3 x^{2}}{2} - 30 x - 150$

Étape 7

Le maximum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est négatif, la valeur maximale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 8

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 8.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{- 30}{2 (- 1.5)}$

Étape 8.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{- 30}{2 (- 1.5)}$

Étape 8.3

Simplifiez $- \frac{- 30}{2 (- 1.5)}$ .

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun à $- 30$ et $2$ .

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Étape 8.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 30$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot - 1.5}$

Étape 8.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 1.5$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 15}{2 (- 1.5)}$

Étape 8.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot - 1.5}$

Étape 8.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{- 15}{- 1.5}$

Étape 8.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.2.1

Divisez $- 15$ par $- 1.5$ .

$x = - 1 \cdot 10$

Étape 8.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$x = - 10$

Étape 9

Évaluez $f (- 10)$ .

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $- 10$ dans l’expression.

$r (- 10) = - \frac{3 {(- 10)}^{2}}{2} - 30 \cdot - 10 - 150$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$r (- 10) = - \frac{3 \cdot 100}{2} - 30 \cdot - 10 - 150$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $3$ par $100$ .

$r (- 10) = - \frac{300}{2} - 30 \cdot - 10 - 150$

Étape 9.2.1.3

Divisez $300$ par $2$ .

$r (- 10) = - 1 \cdot 150 - 30 \cdot - 10 - 150$

Étape 9.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $150$ .

$r (- 10) = - 150 - 30 \cdot - 10 - 150$

Étape 9.2.1.5

Multipliez $- 30$ par $- 10$ .

$r (- 10) = - 150 + 300 - 150$

Étape 9.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 9.2.2.1

Additionnez $- 150$ et $300$ .

$r (- 10) = 150 - 150$

Étape 9.2.2.2

Soustrayez $150$ de $150$ .

$r (- 10) = 0$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 10

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le maximum.

$(- 10, 0)$

Étape 11