Algèbre Exemples

$f (x) = - x^{6} - x^{5} - x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 12$

Étape 1

Pour déterminer le nombre possible de racines positives, regardez les signes sur les coefficients et comptez le nombre de fois que les signes sur les coefficients passent de positif à négatif ou de négatif à positif.

$f (x) = - x^{6} - x^{5} - x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 12$

Étape 2

Comme il y a $1$ changement de signe du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $1$ racine positive (règle des signes de Descartes).

Racines positives : $1$

Étape 3

Pour déterminer le nombre possible de racines négatives, remplacez $x$ par $- x$ et renouvelez la comparaison des signes.

$f (- x) = - {(- x)}^{6} - {(- x)}^{5} - {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - ({(- 1)}^{6} x^{6}) - {(- x)}^{5} - {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{6}$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{6} \cdot (- 1 x^{6}) - {(- x)}^{5} - {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{6}$ par $- 1$ .

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Étape 4.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{6} \cdot ((- 1) x^{6}) - {(- x)}^{5} - {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- x) = {(- 1)}^{6 + 1} x^{6} - {(- x)}^{5} - {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.2.3

Additionnez $6$ et $1$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{7} x^{6} - {(- x)}^{5} - {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.3

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$f (- x) = - x^{6} - {(- x)}^{5} - {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - x^{6} - ({(- 1)}^{5} x^{5}) - {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.5

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.1

Déplacez ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- x) = - x^{6} + {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 x^{5}) - {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.5.2

Multipliez ${(- 1)}^{5}$ par $- 1$ .

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Étape 4.5.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- x) = - x^{6} + {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) x^{5}) - {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- x) = - x^{6} + {(- 1)}^{5 + 1} x^{5} - {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.5.3

Additionnez $5$ et $1$ .

$f (- x) = - x^{6} + {(- 1)}^{6} x^{5} - {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.6

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$f (- x) = - x^{6} + 1 x^{5} - {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.7

Multipliez $x^{5}$ par $1$ .

$f (- x) = - x^{6} + x^{5} - {(- x)}^{4} - 4 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.8

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - x^{6} + x^{5} - ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 4 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.9

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.9.1

Déplacez ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- x) = - x^{6} + x^{5} + {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 x^{4}) - 4 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.9.2

Multipliez ${(- 1)}^{4}$ par $- 1$ .

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Étape 4.9.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- x) = - x^{6} + x^{5} + {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) x^{4}) - 4 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- x) = - x^{6} + x^{5} + {(- 1)}^{4 + 1} x^{4} - 4 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.9.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$f (- x) = - x^{6} + x^{5} + {(- 1)}^{5} x^{4} - 4 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.10

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- x) = - x^{6} + x^{5} - x^{4} - 4 {(- x)}^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.11

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - x^{6} + x^{5} - x^{4} - 4 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- x) = - x^{6} + x^{5} - x^{4} - 4 (- x^{3}) - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.13

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f (- x) = - x^{6} + x^{5} - x^{4} + 4 x^{3} - 12 {(- x)}^{2} + 12$

Étape 4.14

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - x^{6} + x^{5} - x^{4} + 4 x^{3} - 12 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 12$

Étape 4.15

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- x) = - x^{6} + x^{5} - x^{4} + 4 x^{3} - 12 (1 x^{2}) + 12$

Étape 4.16

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- x) = - x^{6} + x^{5} - x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2} + 12$

Étape 5

Comme il y a $5$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $5$ racines négatives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines négatives sont déterminés en soustrayant des paires des racines (ex : $5 - 2$ ).

Racines négatives : $5$ , $3$ , or $1$

Étape 6

Le nombre possible de racines positives est $1$ , et le nombre possible de racines négatives est $5$ , $3$ , or $1$ .

Racines positives : $1$

Racines négatives : $5$ , $3$ , or $1$