Algèbre Exemples

${(3 x - 2)}^{2} = 84 y - 112$

Étape 1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $84 y - 112 = {(3 x - 2)}^{2}$ .

$84 y - 112 = {(3 x - 2)}^{2}$

Étape 1.2

Ajoutez $112$ aux deux côtés de l’équation.

$84 y = {(3 x - 2)}^{2} + 112$

Étape 1.3

Divisez chaque terme dans $84 y = {(3 x - 2)}^{2} + 112$ par $84$ et simplifiez.

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Étape 1.3.1

Divisez chaque terme dans $84 y = {(3 x - 2)}^{2} + 112$ par $84$ .

$\frac{84 y}{84} = \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{84} + \frac{112}{84}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $84$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{84 y}{84} = \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{84} + \frac{112}{84}$

Étape 1.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{84} + \frac{112}{84}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.1

Annulez le facteur commun à $112$ et $84$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Factorisez $28$ à partir de $112$ .

$y = \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{84} + \frac{28 (4)}{84}$

Étape 1.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.3.1.2.1

Factorisez $28$ à partir de $84$ .

$y = \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{84} + \frac{28 \cdot 4}{28 \cdot 3}$

Étape 1.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{84} + \frac{28 \cdot 4}{28 \cdot 3}$

Étape 1.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{{(3 x - 2)}^{2}}{84} + \frac{4}{3}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{84} \cdot {(3 x - 2)}^{2} + \frac{4}{3}$

Étape 2

Complétez le carré pour $\frac{1}{84} \cdot {(3 x - 2)}^{2} + \frac{4}{3}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Réécrivez ${(3 x - 2)}^{2}$ comme $(3 x - 2) (3 x - 2)$ .

$\frac{1}{84} \cdot ((3 x - 2) (3 x - 2)) + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.2

Développez $(3 x - 2) (3 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{84} \cdot (3 x (3 x - 2) - 2 (3 x - 2)) + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{84} \cdot (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x - 2)) + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{84} \cdot (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{84} \cdot (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{1}{84} \cdot (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1}{84} \cdot (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{84} \cdot (9 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{1}{84} \cdot (9 x^{2} - 6 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{1}{84} \cdot (9 x^{2} - 6 x - 6 x - 2 \cdot - 2) + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{1}{84} \cdot (9 x^{2} - 6 x - 6 x + 4) + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.3.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{1}{84} \cdot (9 x^{2} - 12 x + 4) + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{84} (9 x^{2}) + \frac{1}{84} (- 12 x) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.1.5.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.1.5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $84$ .

$\frac{1}{3 (28)} (9 x^{2}) + \frac{1}{84} (- 12 x) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.5.1.2

Factorisez $3$ à partir de $9 x^{2}$ .

$\frac{1}{3 (28)} (3 (3 x^{2})) + \frac{1}{84} (- 12 x) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.5.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3 \cdot 28} (3 (3 x^{2})) + \frac{1}{84} (- 12 x) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.5.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{28} (3 x^{2}) + \frac{1}{84} (- 12 x) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.5.2

Associez $3$ et $\frac{1}{28}$ .

$\frac{3}{28} x^{2} + \frac{1}{84} (- 12 x) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.5.3

Associez $\frac{3}{28}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{28} + \frac{1}{84} (- 12 x) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.5.4

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.1.1.5.4.1

Factorisez $12$ à partir de $84$ .

$\frac{3 x^{2}}{28} + \frac{1}{12 (7)} (- 12 x) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.5.4.2

Factorisez $12$ à partir de $- 12 x$ .

$\frac{3 x^{2}}{28} + \frac{1}{12 (7)} (12 (- x)) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.5.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{28} + \frac{1}{12 \cdot 7} (12 (- x)) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.5.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{2}}{28} + \frac{1}{7} (- x) + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.5.5

Associez $\frac{1}{7}$ et $x$ .

$\frac{3 x^{2}}{28} - \frac{x}{7} + \frac{1}{84} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.5.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.1.5.6.1

Factorisez $4$ à partir de $84$ .

$\frac{3 x^{2}}{28} - \frac{x}{7} + \frac{1}{4 (21)} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.5.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{28} - \frac{x}{7} + \frac{1}{4 \cdot 21} \cdot 4 + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.1.5.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{2}}{28} - \frac{x}{7} + \frac{1}{21} + \frac{4}{3}$

Étape 2.1.2

Pour écrire $\frac{4}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3 x^{2}}{28} - \frac{x}{7} + \frac{1}{21} + \frac{4}{3} \cdot \frac{7}{7}$

Étape 2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $21$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.1.3.1

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3 x^{2}}{28} - \frac{x}{7} + \frac{1}{21} + \frac{4 \cdot 7}{3 \cdot 7}$

Étape 2.1.3.2

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{3 x^{2}}{28} - \frac{x}{7} + \frac{1}{21} + \frac{4 \cdot 7}{21}$

Étape 2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{2}}{28} - \frac{x}{7} + \frac{1 + 4 \cdot 7}{21}$

Étape 2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.5.1

Multipliez $4$ par $7$ .

$\frac{3 x^{2}}{28} - \frac{x}{7} + \frac{1 + 28}{21}$

Étape 2.1.5.2

Additionnez $1$ et $28$ .

$\frac{3 x^{2}}{28} - \frac{x}{7} + \frac{29}{21}$

Étape 2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{3}{28}$

$b = - \frac{1}{7}$

$c = \frac{29}{21}$

Étape 2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{7}}{2 (\frac{3}{28})}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2 (\frac{3}{28})}$

Étape 2.4.2.2

Associez $2$ et $\frac{3}{28}$ .

$d = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{28}}$

Étape 2.4.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$d = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{\frac{6}{28}}$

Étape 2.4.2.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $28$ .

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Étape 2.4.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$d = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3)}{28}}$

Étape 2.4.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $28$ .

$d = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 14}}$

Étape 2.4.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 14}}$

Étape 2.4.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{\frac{3}{14}}$

Étape 2.4.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{1}{7} (1 (\frac{14}{3}))$

Étape 2.4.2.6

Multipliez $\frac{14}{3}$ par $1$ .

$d = - \frac{1}{7} \cdot \frac{14}{3}$

Étape 2.4.2.7

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.4.2.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{7}$ dans le numérateur.

$d = \frac{- 1}{7} \cdot \frac{14}{3}$

Étape 2.4.2.7.2

Factorisez $7$ à partir de $14$ .

$d = \frac{- 1}{7} \cdot \frac{7 (2)}{3}$

Étape 2.4.2.7.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1}{7} \cdot \frac{7 \cdot 2}{3}$

Étape 2.4.2.7.4

Réécrivez l’expression.

$d = - \frac{2}{3}$

Étape 2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{{(- \frac{1}{7})}^{2}}{4 (\frac{3}{28})}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{7}$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{7})}^{2}}{4 (\frac{3}{28})}$

Étape 2.5.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{1 {(\frac{1}{7})}^{2}}{4 (\frac{3}{28})}$

Étape 2.5.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{7}$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{1 \frac{1^{2}}{7^{2}}}{4 (\frac{3}{28})}$

Étape 2.5.2.1.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = \frac{29}{21} - \frac{1 \frac{1}{7^{2}}}{4 (\frac{3}{28})}$

Étape 2.5.2.1.1.5

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{1 (\frac{1}{49})}{4 (\frac{3}{28})}$

Étape 2.5.2.1.1.6

Multipliez $\frac{1}{49}$ par $1$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{\frac{1}{49}}{4 (\frac{3}{28})}$

Étape 2.5.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{3}{28}$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{\frac{1}{49}}{\frac{4 \cdot 3}{28}}$

Étape 2.5.2.1.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{\frac{1}{49}}{\frac{12}{28}}$

Étape 2.5.2.1.4

Annulez le facteur commun à $12$ et $28$ .

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Étape 2.5.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{\frac{1}{49}}{\frac{4 (3)}{28}}$

Étape 2.5.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.2.1.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{\frac{1}{49}}{\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 7}}$

Étape 2.5.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{29}{21} - \frac{\frac{1}{49}}{\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 7}}$

Étape 2.5.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{29}{21} - \frac{\frac{1}{49}}{\frac{3}{7}}$

Étape 2.5.2.1.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = \frac{29}{21} - (\frac{1}{49} \cdot \frac{7}{3})$

Étape 2.5.2.1.6

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.5.2.1.6.1

Factorisez $7$ à partir de $49$ .

$e = \frac{29}{21} - (\frac{1}{7 (7)} \cdot \frac{7}{3})$

Étape 2.5.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{29}{21} - (\frac{1}{7 \cdot 7} \cdot \frac{7}{3})$

Étape 2.5.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{29}{21} - (\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 2.5.2.1.7

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{1}{7 \cdot 3}$

Étape 2.5.2.1.8

Multipliez $7$ par $3$ .

$e = \frac{29}{21} - \frac{1}{21}$

Étape 2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{29 - 1}{21}$

Étape 2.5.2.3

Soustrayez $1$ de $29$ .

$e = \frac{28}{21}$

Étape 2.5.2.4

Annulez le facteur commun à $28$ et $21$ .

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Étape 2.5.2.4.1

Factorisez $7$ à partir de $28$ .

$e = \frac{7 (4)}{21}$

Étape 2.5.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.2.4.2.1

Factorisez $7$ à partir de $21$ .

$e = \frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 3}$

Étape 2.5.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 3}$

Étape 2.5.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{4}{3}$

Étape 2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{3}{28} {(x - \frac{2}{3})}^{2} + \frac{4}{3}$ .

$\frac{3}{28} {(x - \frac{2}{3})}^{2} + \frac{4}{3}$

Étape 3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{3}{28} \cdot {(x - \frac{2}{3})}^{2} + \frac{4}{3}$