Algèbre Exemples

$y = 4 x^{2} + x - 14$

Étape 1

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{1}{2 (4)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{1}{2 (4)}$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = - \frac{1}{8}$

Étape 3

Évaluez $f (- \frac{1}{8})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{8}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{8}) = 4 {(- \frac{1}{8})}^{2} - \frac{1}{8} - 14$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- \frac{1}{8}) = 4 {(- \frac{1}{8})}^{2} - \frac{1}{8} - 14$

Étape 3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{1}{8}) = 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2}) - \frac{1}{8} - 14$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{1}{8}) = 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{8^{2}})) - \frac{1}{8} - 14$

Étape 3.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{8}) = 4 (1 (\frac{1^{2}}{8^{2}})) - \frac{1}{8} - 14$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{8}) = 4 (\frac{1^{2}}{8^{2}}) - \frac{1}{8} - 14$

Étape 3.2.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1}{8}) = 4 (\frac{1}{8^{2}}) - \frac{1}{8} - 14$

Étape 3.2.2.5

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{8}) = 4 (\frac{1}{64}) - \frac{1}{8} - 14$

Étape 3.2.2.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$f (- \frac{1}{8}) = 4 (\frac{1}{4 (16)}) - \frac{1}{8} - 14$

Étape 3.2.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1}{8}) = 4 (\frac{1}{4 \cdot 16}) - \frac{1}{8} - 14$

Étape 3.2.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1}{8}) = \frac{1}{16} - \frac{1}{8} - 14$

Étape 3.2.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{8}) = \frac{1}{16} - (\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2}) - 14$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{8}) = \frac{1}{16} - \frac{2}{8 \cdot 2} - 14$

Étape 3.2.3.3

Écrivez $- 14$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{1}{8}) = \frac{1}{16} - \frac{2}{8 \cdot 2} + \frac{- 14}{1}$

Étape 3.2.3.4

Multipliez $\frac{- 14}{1}$ par $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{1}{8}) = \frac{1}{16} - \frac{2}{8 \cdot 2} + \frac{- 14}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Étape 3.2.3.5

Multipliez $\frac{- 14}{1}$ par $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{1}{8}) = \frac{1}{16} - \frac{2}{8 \cdot 2} + \frac{- 14 \cdot 16}{16}$

Étape 3.2.3.6

Réorganisez les facteurs de $8 \cdot 2$ .

$f (- \frac{1}{8}) = \frac{1}{16} - \frac{2}{2 \cdot 8} + \frac{- 14 \cdot 16}{16}$

Étape 3.2.3.7

Multipliez $2$ par $8$ .

$f (- \frac{1}{8}) = \frac{1}{16} - \frac{2}{16} + \frac{- 14 \cdot 16}{16}$

Étape 3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{8}) = \frac{1 - 2 - 14 \cdot 16}{16}$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $- 14$ par $16$ .

$f (- \frac{1}{8}) = \frac{1 - 2 - 224}{16}$

Étape 3.2.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (- \frac{1}{8}) = \frac{- 1 - 224}{16}$

Étape 3.2.5.3

Soustrayez $224$ de $- 1$ .

$f (- \frac{1}{8}) = \frac{- 225}{16}$

Étape 3.2.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{225}{16}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $- \frac{225}{16}$ .

$- \frac{225}{16}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(- \frac{1}{8}, - \frac{225}{16})$

Étape 5